上册 3.3 导数的估值 第23题
📝 题目
23．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非负连续，$f(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$f(x) \equiv 0$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，$f(x) \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0, x \in(a, b)$ ．证明：$f(x) \equiv 0, x \in(a, b)$ ．
（3）设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，又 $\varphi(x)=f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 单调递减．证明：$f(x) \equiv 0, x \in \mathbf{R}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）作辅助函数 $F(x)=\mathrm{e}^{-x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(0)=0$ ，且 $F^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(f(x)-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)=0$ ．因此 $F(x) \equiv C$ ．于是 $F(x) \equiv 0$ ．从而 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．求导得 $f(x) \equiv 0$ ．
（2）作辅助函数 $F(x)=\left(\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}, x \in(a, b)$ ，则 $F(0)=0$ ．由已知得 $F^{\prime}(x)=0, x \in(a, b)$ ．因此 $F(x) \equiv C$ ．于是 $F(x) \equiv 0$ ，即 $\left(\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}=0$ ，故 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．求导得 $f(x) \equiv 0$ ．
（3）作辅助函数 $F(x)=\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}$ ，则 $F(0)=0$ 且 $F^{\prime}(x)=2 \varphi(x)$ ．显然 $\varphi(0)=0$ ．
由 $\varphi(x)$ 单调递减知：当 $x>0$ 时，$\varphi(x) \leqslant 0, F^{\prime}(x) \leqslant 0$ ；当 $x<0$ 时，$\varphi(x) \geqslant 0, F^{\prime}(x) \geqslant 0$ 。所以 $F(x)$ 在 $x=0$ 取得极大值 0 ．又 $F(x) \geqslant 0$ ，故 $F(x) \equiv 0$ ，即 $\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}=0$ ．故 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．求导得
$f(x) \equiv 0$.
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造辅助函数并求导
令 $F(x)=e^{-x}\int_0^x f(t)dt$，则 $F(0)=0$。求导得 $F'(x)=e^{-x}\left(f(x)-\int_0^x f(t)dt\right)$。由已知 $f(x)=\int_0^x f(t)dt$，故 $F'(x)=0$。
公式：$F'(x)=e^{-x}\left(f(x)-\int_0^x f(t)dt\right)$
提示：注意辅助函数的构造，使得导数中出现已知条件。
步骤 2/8
目标：推出辅助函数为常数
由 $F'(x)=0$ 知 $F(x)$ 为常数。又 $F(0)=0$，故 $F(x)\equiv 0$，即 $e^{-x}\int_0^x f(t)dt=0$，从而 $\int_0^x f(t)dt=0$。
提示：常数由初始条件确定。
步骤 3/8
目标：求导得结论
对 $\int_0^x f(t)dt=0$ 两边求导，得 $f(x)=0$，即 $f(x)\equiv 0$。
提示：注意积分上限为变量时求导法则。
步骤 4/8
目标：构造平方辅助函数
令 $F(x)=\left(\int_a^x f(t)dt\right)^2$，则 $F(a)=0$。求导得 $F'(x)=2f(x)\int_a^x f(t)dt$。由已知 $f(x)\int_a^x f(t)dt=0$，故 $F'(x)=0$。
公式：$F'(x)=2f(x)\int_a^x f(t)dt$
提示：平方后求导可消去因子。
步骤 5/8
目标：推出积分恒为零
由 $F'(x)=0$ 知 $F(x)$ 为常数，又 $F(a)=0$，故 $F(x)\equiv 0$，即 $\left(\int_a^x f(t)dt\right)^2=0$，从而 $\int_a^x f(t)dt=0$。
提示：注意平方非负，常数必为零。
步骤 6/8
目标：求导得结论
对 $\int_a^x f(t)dt=0$ 求导得 $f(x)=0$，即 $f(x)\equiv 0$。
提示：积分下限为常数，求导时注意。
步骤 7/8
目标：构造平方函数并分析单调性
令 $F(x)=\left(\int_0^x f(t)dt\right)^2$，则 $F(0)=0$，$F'(x)=2f(x)\int_0^x f(t)dt=2\varphi(x)$。由 $\varphi(x)$ 单调递减且 $\varphi(0)=0$，得：当 $x>0$ 时 $\varphi(x)\le 0$，$F'(x)\le 0$；当 $x<0$ 时 $\varphi(x)\ge 0$，$F'(x)\ge 0$。
公式：$F'(x)=2\varphi(x)$
提示：注意 $\varphi(x)$ 的单调性如何影响 $F'(x)$ 的符号。
步骤 8/8
目标：推出极值并得结论
因此 $F(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值 $F(0)=0$。又 $F(x)\ge 0$，故 $F(x)\equiv 0$，即 $\left(\int_0^x f(t)dt\right)^2=0$，从而 $\int_0^x f(t)dt=0$。求导得 $f(x)\equiv 0$。
提示：非负函数极大值为0则恒为0。
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