上册 3.4 与导数有关的极限 第1题
📝 题目
1．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g\left(x_{0}\right) f(x)-g(x) f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\alpha t\right)-f\left(x_{0}+\beta t\right)}{t}, \alpha \neq 0, \beta \neq 0$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g\left(x_{0}\right) f(x)-g(x) f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g\left(x_{0}\right) f(x)-g\left(x_{0}\right) f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}+\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g\left(x_{0}\right) f\left(x_{0}\right)-g(x) f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$
$$
=g\left(x_{0}\right) f^{\prime}\left(x_{0}\right)-g^{\prime}\left(x_{0}\right) f\left(x_{0}\right)
$$
当 $g(x)=x$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{x_{0} f(x)-x f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{x_{0}\left[f(x)-f\left(x_{0}\right)\right]-f\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)}{x-x_{0}}=x_{0} f^{\prime}\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\alpha t\right)-f\left(x_{0}+\beta t\right)}{t}=\alpha \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\alpha t\right)-f\left(x_{0}\right)}{\alpha t}-\beta \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\beta t\right)-f\left(x_{0}\right)}{\beta t}$
$$
=(\alpha-\beta) f^{\prime}\left(x_{0}\right) .
$$
当 $\alpha=1, \beta=-1$ 时， $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{h}=2 f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．
当 $\alpha=2, \beta=1$ 时， $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+2 t\right)-f\left(x_{0}+t\right)}{t}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．
当 $\alpha=3, \beta=-2$ 时， $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+3 h\right)-f\left(x_{0}-2 h\right)}{h}=5 f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将极限拆分为两个可导定义的差
原极限为 $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x_0)f(x)-g(x)f(x_0)}{x-x_0}$。在分子中同时加减 $g(x_0)f(x_0)$，得到：
$$\lim_{x \to x_0} \frac{g(x_0)f(x)-g(x_0)f(x_0)+g(x_0)f(x_0)-g(x)f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x_0)[f(x)-f(x_0)]}{x-x_0} - \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)[g(x)-g(x_0)]}{x-x_0}.$$
提示：注意拆分时符号：第二项是减号，因为 $g(x_0)f(x_0)-g(x)f(x_0) = -f(x_0)[g(x)-g(x_0)]$。
步骤 2/6
目标：应用导数定义
由导数定义，$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$，$\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = g'(x_0)$。因此极限为：
$$g(x_0)f'(x_0) - f(x_0)g'(x_0).$$
公式：$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
提示：注意常数因子 $g(x_0)$ 和 $f(x_0)$ 可以提到极限外面。
步骤 3/6
目标：处理第二题：将极限转化为导数定义形式
原极限为 $\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+\alpha t)-f(x_0+\beta t)}{t}$。在分子中同时加减 $f(x_0)$，得到：
$$\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+\alpha t)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0+\beta t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+\alpha t)-f(x_0)}{t} - \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+\beta t)-f(x_0)}{t}.$$
提示：注意第二个极限是减号，因为 $f(x_0)-f(x_0+\beta t) = -[f(x_0+\beta t)-f(x_0)]$。
步骤 4/6
目标：变量替换应用导数定义
对第一个极限，令 $u = \alpha t$，则 $t = u/\alpha$，当 $t \to 0$ 时 $u \to 0$，所以：
$$\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+\alpha t)-f(x_0)}{t} = \lim_{u \to 0} \frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{u/\alpha} = \alpha \lim_{u \to 0} \frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{u} = \alpha f'(x_0).$$
公式：$\lim_{u \to 0} \frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{u} = f'(x_0)$
提示：注意 $\alpha$ 是常数，可以提到极限外面；分母的 $t$ 替换为 $u/\alpha$ 后，要乘以 $\alpha$。
步骤 5/6
目标：类似处理第二个极限
对第二个极限，令 $v = \beta t$，则 $t = v/\beta$，当 $t \to 0$ 时 $v \to 0$，所以：
$$\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+\beta t)-f(x_0)}{t} = \lim_{v \to 0} \frac{f(x_0+v)-f(x_0)}{v/\beta} = \beta \lim_{v \to 0} \frac{f(x_0+v)-f(x_0)}{v} = \beta f'(x_0).$$
提示：注意 $\beta$ 可能为负，但替换仍然成立。
步骤 6/6
目标：合并结果
将两个极限结果相减：
$$\alpha f'(x_0) - \beta f'(x_0) = (\alpha - \beta) f'(x_0).$$
提示：最终结果与 $\alpha$ 和 $\beta$ 的差值有关。
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