上册 3.4 与导数有关的极限 第2题
📝 题目
2．设函数 $f$ 在点 $a$ 处具有二阶导数，试证： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2 f(a)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(a)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为 $f$ 在点 $a$ 处具有二阶导数，所以 $f$ 在点 $a$ 的某邻域 $U(a)$ 内具有一阶导数．由洛必达法则有
$$
\begin{aligned}
& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2 f(a)}{h^{2}} \\
& =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(a+h)-f^{\prime}(a-h)}{2 h}=\frac{1}{2} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(a+h)-f^{\prime}(a)+f^{\prime}(a)-f^{\prime}(a-h)}{h} \\
& =\frac{1}{2}\left(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(a+h)-f^{\prime}(a)}{h}+\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(a-h)-f^{\prime}(a)}{-h}\right)=\frac{1}{2}\left(f^{\prime \prime}(a)+f^{\prime \prime}(a)\right)=f^{\prime \prime}(a) .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用洛必达法则
由于 $f$ 在点 $a$ 处具有二阶导数，故 $f$ 在 $a$ 的某邻域内有一阶导数，且分子分母在 $h=0$ 时均为0，满足洛必达法则条件。对 $h$ 求导得：
$$
\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a-h)}{2h}.
$$
公式：洛必达法则：若 $\lim_{x\to c} \frac{F(x)}{G(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，且 $\lim_{x\to c} \frac{F'(x)}{G'(x)}$ 存在，则原极限等于该极限。
提示：注意洛必达法则的使用条件：分子分母在极限点处均为0或无穷，且导数存在。这里对 $h$ 求导时，$f(a+h)$ 的导数为 $f'(a+h)$，$f(a-h)$ 的导数为 $-f'(a-h)$，注意符号。
步骤 2/6
目标：拆分分子为两个差的形式
将分子 $f'(a+h) - f'(a-h)$ 改写为 $[f'(a+h) - f'(a)] + [f'(a) - f'(a-h)]$，则极限变为：
$$
\frac{1}{2} \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a) + f'(a) - f'(a-h)}{h}.
$$
提示：拆分时注意保持等式恒等，不要遗漏项。
步骤 3/6
目标：将极限拆分为两个极限之和
利用极限的加法法则，将极限拆分为两个极限之和：
$$
\frac{1}{2} \left( \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f'(a) - f'(a-h)}{h} \right).
$$
公式：极限加法法则：若 $\lim A$ 和 $\lim B$ 都存在，则 $\lim (A+B) = \lim A + \lim B$。
提示：拆分前需确保两个极限都存在，这里由二阶导数存在可知它们都存在。
步骤 4/6
目标：处理第二个极限的变量替换
对第二个极限，令 $k = -h$，则当 $h \to 0$ 时 $k \to 0$，且 $h = -k$，代入得：
$$
\lim_{h \to 0} \frac{f'(a) - f'(a-h)}{h} = \lim_{k \to 0} \frac{f'(a) - f'(a+k)}{-k} = \lim_{k \to 0} \frac{f'(a+k) - f'(a)}{k}.
$$
提示：注意变量替换时符号的变化，确保变换正确。
步骤 5/6
目标：利用二阶导数的定义
由二阶导数的定义，$f''(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a)}{h}$。因此，两个极限都等于 $f''(a)$。代入得：
$$
\frac{1}{2} (f''(a) + f''(a)) = f''(a).
$$
公式：二阶导数定义：$f''(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a)}{h}$。
提示：注意二阶导数存在意味着 $f'$ 在 $a$ 处可导，因此该极限存在。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，原极限等于 $f''(a)$，即
$$
\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2} = f''(a).
$$
提示：最终结果与题目要求一致，注意书写规范。
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