上册 3.4 与导数有关的极限 第6题
📝 题目
6．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上有直到 $n$ 阶导数，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(n)}(x)=B$ ．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(k)}(x)=0, k=1,2, \cdots, n . }
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上有三阶导数，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 和 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(3)}(x)$ 都存在且有限．证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0 \text {. }
$$
（3）设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上有二阶导数，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ 和 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=0$ ．证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\forall x \in(a,+\infty)$ ，写出 $f(x+1), f(x+2), \cdots, f(x+n-1)$ 在点 $x$ 处的泰勒公式得到关于 $f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x), \cdots, f^{(n-1)}(x)$ 的线性方程组：
$$
f(x+j)=f(x)+\frac{f^{\prime}(x)}{1!} j+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!} j^{n-1}+\frac{f^{(n)}\left(\xi_{j}\right)}{n!} j^{n}, j=1,2, \cdots, n-1, x<\xi_{j}
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：建立泰勒展开方程组
对于任意 $x \in (a, +\infty)$，考虑 $f(x+1), f(x+2), \ldots, f(x+n-1)$ 在点 $x$ 处的泰勒展开：
$$f(x+j) = f(x) + \frac{f'(x)}{1!} j + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!} j^{n-1} + \frac{f^{(n)}(\xi_j)}{n!} j^n, \quad j=1,2,\ldots,n-1,$$
其中 $x < \xi_j < x+j$。
公式：泰勒公式：$f(x+j) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x)}{k!} j^k + \frac{f^{(n)}(\xi_j)}{n!} j^n$
提示：注意泰勒公式的余项形式，这里使用拉格朗日余项，且 $\xi_j$ 依赖于 $x$ 和 $j$。
步骤 2/9
目标：解线性方程组表示各阶导数
将上述 $n-1$ 个等式视为关于 $f'(x), f''(x), \ldots, f^{(n-1)}(x)$ 的线性方程组。系数矩阵为范德蒙矩阵，行列式非零，因此可解。$f^{(k)}(x)$ 可表示为 $f(x+j)-f(x)$ 和 $f^{(n)}(\xi_j)$ 的线性组合，其中 $j=1,\ldots,n-1$。
提示：系数行列式为 $\prod_{1 \le i < j \le n-1} (j-i) \neq 0$，保证解唯一。
步骤 3/9
目标：利用极限存在性推导各阶导数极限存在
由题设 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$，故 $\lim_{x \to +\infty} (f(x+j)-f(x)) = 0$。又 $\lim_{x \to +\infty} f^{(n)}(x) = B$，且 $\xi_j \to +\infty$ 当 $x \to +\infty$，故 $\lim_{x \to +\infty} f^{(n)}(\xi_j) = B$。因此，$f^{(k)}(x)$ 的线性组合中每一项极限均存在，从而 $\lim_{x \to +\infty} f^{(k)}(x)$ 存在，$k=1,2,\ldots,n-1$。
提示：注意 $\xi_j$ 介于 $x$ 和 $x+j$ 之间，当 $x \to +\infty$ 时 $\xi_j \to +\infty$。
步骤 4/9
目标：证明 $f^{(n)}(x)$ 极限为零
由 $\lim_{x \to +\infty} f^{(n-1)}(x)$ 存在和 $\lim_{x \to +\infty} f^{(n)}(x) = B$ 存在，考虑 $f^{(n-1)}(x+1) - f^{(n-1)}(x) = f^{(n)}(\eta)$，其中 $\eta \in (x, x+1)$。令 $x \to +\infty$，左边趋于 $0$，故 $\lim_{x \to +\infty} f^{(n)}(x) = 0$。
公式：拉格朗日中值定理：$f^{(n-1)}(x+1)-f^{(n-1)}(x) = f^{(n)}(\eta)$
提示：这里利用了 $f^{(n-1)}$ 极限存在，从而其差趋于零。
步骤 5/9
目标：递推得到所有低阶导数极限为零
由第3步知 $\lim_{x \to +\infty} f^{(k)}(x)$ 存在，且第4步已证 $\lim_{x \to +\infty} f^{(n)}(x)=0$。对 $k=n-1$，利用 $f^{(n-1)}(x+1)-f^{(n-1)}(x) = f^{(n)}(\eta)$ 取极限得 $\lim_{x \to +\infty} f^{(n-1)}(x)=0$。类似地，可递推得到 $\lim_{x \to +\infty} f^{(k)}(x)=0$ 对所有 $k=1,\ldots,n-1$ 成立。
提示：递推时注意每次使用中值定理，且高阶导极限为零是已知的。
步骤 6/9
目标：（2）直接证明：构造辅助函数
令 $g(x)=f(x)-f'(x)+f''(x)$，则 $g'(x)=f'(x)-f''(x)+f'''(x)$。于是 $g(x)+g'(x)=f(x)+f'''(x)$。由题设 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 和 $\lim_{x \to +\infty} f'''(x)$ 存在，故 $\lim_{x \to +\infty} (g(x)+g'(x))$ 存在。
公式：$g(x)+g'(x)=f(x)+f'''(x)$
提示：注意构造 $g$ 的目的是利用题5(4)的结论。
步骤 7/9
目标：利用题5(4)得到 $g'(x)$ 极限为零
由题5(4)：若 $\lim_{x \to +\infty} (h(x)+h'(x))$ 存在，则 $\lim_{x \to +\infty} h'(x)=0$。这里取 $h=g$，得 $\lim_{x \to +\infty} g'(x)=0$，即 $\lim_{x \to +\infty} (f'(x)-f''(x)+f'''(x))=0$。
公式：题5(4)结论
提示：题5(4)是已知引理，需直接引用。
步骤 8/9
目标：进一步推导各阶导数极限为零
由 $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ 存在（因为 $g(x)+g'(x)$ 极限存在且 $g'(x)$ 极限为零），即 $\lim_{x \to +\infty} (f(x)-f'(x)+f''(x))$ 存在。将 $f(x)-f'(x)+f''(x)$ 写成 $\alpha(\beta f(x)-f'(x)) + (\beta f(x)-f'(x))'$ 的形式，其中 $\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \beta=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。再次应用题5(4)得 $\lim_{x \to +\infty} (\beta f(x)-f'(x))' = 0$，即 $\lim_{x \to +\infty} (\beta f'(x)-f''(x))=0$。结合 $\lim_{x \to +\infty} g'(x)=0$ 可解得 $\lim_{x \to +\infty} f''(x)=0$，进而 $\lim_{x \to +\infty} f'(x)=0$，最后 $\lim_{x \to +\infty} f'''(x)=0$。
提示：注意代数变形和线性方程组的求解。
步骤 9/9
目标：（3）构造辅助函数并应用题5(4)
令 $g(x)=f(x)-f'(x)$，则 $g'(x)=f'(x)-f''(x)$。于是 $g(x)+g'(x)=f(x)-f''(x)$。由题设 $\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$，$\lim_{x \to +\infty} f''(x)=0$，故 $\lim_{x \to +\infty} (g(x)+g'(x))=1$ 存在。由题5(4)得 $\lim_{x \to +\infty} g'(x)=0$，即 $\lim_{x \to +\infty} (f'(x)-f''(x))=0$。又 $\lim_{x \to +\infty} f''(x)=0$，所以 $\lim_{x \to +\infty} f'(x)=0$。
公式：$g(x)+g'(x)=f(x)-f''(x)$
提示：注意题5(4)要求 $\lim (h+h')$ 存在，这里 $h=g$ 满足条件。
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