上册 3.4 与导数有关的极限 第7题
📝 题目
7．设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有界可微，试问下列命题中哪个必定成立（要说明理由），哪个不成立（举反例）
（1） $\lim _{x \rightarrow+x} f(x)=0$ 蕴含 $\lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在蕴含 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）不一定成立。如 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x^{2}}{x}=0$ ，但是 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\sin x^{2}}{x}\right)^{\prime}$ 不存在。
（2）成立，证明见题5（2）．
另证：取两个数列 $\{2 n\},\{n\}$ ．由中值定理知，存在 $\xi_{n} \in[n, n+1]$ 使 $f(2 n)-f(n)=f^{\prime}\left(\xi_{n}\right) n$ ．根据有界性，
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f(2 n)-f(n)}{n}=0
$$
由归结原则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析命题(1)是否成立
考虑函数 $f(x)=\frac{\sin x^2}{x}$，在 $(0,+\infty)$ 上有界且可微。计算极限：$\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x^2}{x}=0$，满足条件。但导数 $f'(x)=\frac{2x\cos x^2\cdot x - \sin x^2}{x^2}=2\cos x^2 - \frac{\sin x^2}{x^2}$，当 $x\to+\infty$ 时，$\lim_{x\to+\infty} f'(x)$ 不存在（因为 $\cos x^2$ 振荡）。因此命题(1)不成立。
提示：注意反例需要满足有界可微且极限为0，但导数极限不存在。
步骤 2/6
目标：分析命题(2)是否成立
命题(2)声称：若 $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ 和 $\lim_{x\to+\infty} f'(x)$ 都存在，则 $\lim_{x\to+\infty} f'(x)=0$。我们证明这个结论成立。
提示：注意两个极限都存在是前提。
步骤 3/6
目标：证明命题(2)：利用中值定理构造数列
设 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=A$。取两个数列 $\{2n\}$ 和 $\{n\}$，其中 $n\in\mathbb{N}$。对区间 $[n, 2n]$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n\in(n,2n)$ 使得 $f(2n)-f(n)=f'(\xi_n)(2n-n)=f'(\xi_n)n$。
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
提示：注意区间端点选择，确保 $\xi_n\to+\infty$。
步骤 4/6
目标：推导 $f'(\xi_n)$ 的极限
由上式得 $f'(\xi_n)=\frac{f(2n)-f(n)}{n}$。由于 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=A$，故 $\lim_{n\to\infty} f(2n)=A$，$\lim_{n\to\infty} f(n)=A$。因此 $\lim_{n\to\infty} (f(2n)-f(n))=0$，从而 $\lim_{n\to\infty} f'(\xi_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{0}{n}=0$。
提示：注意分子趋于0，分母趋于无穷，但这里分子是差，极限为0，所以整体极限为0。
步骤 5/6
目标：利用归结原则得到导数极限为0
由于 $\xi_n\to+\infty$ 且 $\lim_{n\to\infty} f'(\xi_n)=0$，而 $\lim_{x\to+\infty} f'(x)$ 存在，由归结原则（海涅定理）知 $\lim_{x\to+\infty} f'(x)=0$。
公式：归结原则：若 $\lim_{x\to+\infty} g(x)$ 存在，则对任意趋于无穷的数列 $x_n$，有 $\lim_{n\to\infty} g(x_n)=\lim_{x\to+\infty} g(x)$。
提示：需要前提 $\lim f'(x)$ 存在，否则不能直接应用归结原则。
步骤 6/6
目标：总结命题(2)成立
因此，在 $\lim f(x)$ 和 $\lim f'(x)$ 都存在的前提下，必有 $\lim_{x\to+\infty} f'(x)=0$。命题(2)成立。
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