上册 3.4 与导数有关的极限 第8题
📝 题目
8．证明下列结论．
（1）若 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．求证：$(a,+\infty)$ 内存在一个单调数列 $\left\{\xi_{n}\right\}$ 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可微，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限．试证： $\lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ 当且仅当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ 。
（3）设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \frac{f(x)}{x}=0$ ，若 $\lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在且有限，求证： $\lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ．
（4）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可微， $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty$ ，求证：存在一个数列 $\left\{\xi_{n}\right\} \subset(a, b)$ 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)\right|=\infty$ 。
（5）设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可微且有界，证明：存在一个数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ，且 $\lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可微，故对任一自然数 $n, f(x)$ 在 $\left[2^{n-1}, 2^{n}\right]$ 上连续，在 $\left(2^{n-1}, 2^{n}\right)$ 内可导。由拉格朗日中值定理知，$\exists \xi_{n} \in\left(2^{n-1}, 2^{n}\right)$ 使 $\displaystyle \frac{f\left(2^{n}\right)-f\left(2^{n-1}\right)}{2^{n}-2^{n-1}}=f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)$ ，即
$$
f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=\frac{f\left(2^{n}\right)-f\left(2^{n-1}\right)}{2^{n-1}}=2 \frac{f\left(2^{n}\right)}{2^{n}}-\frac{f\left(2^{n-1}\right)}{2^{n-1}}
$$
因 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} 2^{n}=+\infty$ ，由归结原则知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(2^{n}\right)}{2^{n}}=0$ 。从而 $\lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ ．
（2）充分性：
方法 1：由归结原则及（1）得证。
方法2：由罗必塔法则， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{1}=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
必要性：见题 4（1）．
（3）由（2）得。
（4）取 $x_{1} \in(a, b)$ ，且使 $x_{1}-a<1$ ．对于 $x \in\left(a, x_{1}\right)$ ，由拉格朗日中值定理有
$$
f^{\prime}\left(\xi_{0}\right)=\frac{f(x)-f\left(x_{1}\right)}{x-x_{1}}, x<\xi_{0}1$ 。此时满足 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}$ 的 $\xi_{1}$ 满足 $0<\xi_{1}-a<1$ 且 $\left|f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)\right|>1$ ．
由于 $\lim _{x \rightarrow a^{!}} f(x)=\infty$ ，可选 $x_{3}$ ，使 $\displaystyle x_{3}-a<\frac{1}{3}$ 且 $\displaystyle \left|\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}\right|>2$ 。此时满足 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}$的 $\xi_{2}$ 满足 $\displaystyle 0<\xi_{2}-a<\frac{1}{2}$ 且 $\left|f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)\right|>2$ ．
将此过程无限继续下去得到序列 $\left\{\xi_{n}\right\}$ 满足： $\displaystyle 0<\xi_{n}-a<\frac{1}{n}$ 且 $\left|f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)\right|>n$ 。于是存在序列 $\left\{\xi_{n}\right\}: \xi_{n} \rightarrow a+0$ 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)\right|=+\infty$ 。
（5）由拉格朗日中值定理有 $f(2 n)-f(n)=f^{\prime}\left(\xi_{n}\right) n$ ，其中 $n<\xi_{n}<2 n$ ．再由有界性条件得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f(2 n)-f(n)}{n}=0
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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