上册 3.4 与导数有关的极限 第9题
📝 题目
9．证明下列结论．
（1）设 $\varphi(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二次连续可微， $\lim _{x \rightarrow+x} \varphi(x)$ 存在，且 $\varphi^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界。证
明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上具有二阶连续导数的正函数，且 $f^{\prime}(x) \leqslant 0, x \in(0,+\infty), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界。则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 Taylor 公式，$\forall h>0$ 有 $\displaystyle \varphi(x+h)=\varphi(x)+\varphi^{\prime}(x) h+\frac{1}{2} \varphi^{\prime \prime}(\xi) h^{2}, x<\xi0$ 使得 $\left|\varphi^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M(x>0)$ 。所以
$$
\left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{1}{h}|\varphi(x+h)-\varphi(x)|+\frac{1}{2} M h \leqslant \frac{1}{h}|\varphi(x+h)-A|+\frac{1}{h}|\varphi(x)-A|+\frac{1}{2} M h
$$
$\forall \varepsilon>0$ ，先取 $h>0$ 充分小使得 $\displaystyle \frac{1}{2} M h<\frac{\varepsilon}{2}$ ，然后将 $h$ 固定。设 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)=A$ ，则 $\exists X>0$ ，当 $x>X$ 时，
$$
\frac{1}{h}(|\varphi(x+h)-A|+|\varphi(x)-A|)<\frac{\varepsilon}{2}
$$
从而当 $x>X$ 时，$\displaystyle \left|\varphi^{\prime}(x)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ 。即 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$ ．
（2）先证： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=m$ 存在。由 $f^{\prime}(x) \leqslant 0, x \in(0,+\infty)$ 可知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调递减的，且有下界为 0 。根据单调有界原理， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=m$ 存在。于是 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界。由（1）知 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$.
📋 详细解题步骤
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