上册 3.4 与导数有关的极限 第10题
📝 题目
10．证明下列结论．
（1）设 $f(x), g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle x^{2}\left|g^{\prime}\left(x^{3}\right)\right|<\frac{1}{3} f^{\prime}(x)$ 。求证：当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)$ 存在．
（2）设 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内可微，且满足 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．求证：极限 $\lim _{n \rightarrow x} f\left(n^{-1}\right)$ 存在．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，由柯西收敛定理，$\forall \varepsilon>0, \exists A>0$ ，当 $x_{1}, x_{2}>A$ 时有
$$
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}
$$
由柯西中值定理有
$$
\left|g\left(x_{1}^{3}\right)-g\left(x_{2}^{3}\right)\right|=\left|\frac{3 \xi^{2} g^{\prime}\left(\xi^{3}\right)}{f^{\prime}(\xi)}\right| \cdot\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon \text {, 其中 } x_{1}<\xi0, \exists N>\frac{1}{\varepsilon}$ ，当 $n>N$ 时，$\forall p>0$ 有 $\displaystyle \left|x_{n+p}-x_{n}\right|<\frac{1}{n}<\varepsilon$ 。由柯西收玫准则，极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(n^{-1}\right)$ 存在．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：利用柯西收敛准则处理f(x)的极限存在性
由于 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在，根据柯西收敛准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $A > 0$，使得当 $x_1, x_2 > A$ 时，有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：柯西收敛准则
提示：注意极限存在等价于柯西条件，这里取 $\varepsilon/2$ 是为了后续放缩。
步骤 2/8
目标：应用柯西中值定理建立g与f的关系
考虑 $g(x_1^3)$ 与 $g(x_2^3)$ 的差。由柯西中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使得 $\frac{g(x_1^3) - g(x_2^3)}{f(x_1) - f(x_2)} = \frac{3\xi^2 g'(\xi^3)}{f'(\xi)}$。因此 $|g(x_1^3) - g(x_2^3)| = \left|\frac{3\xi^2 g'(\xi^3)}{f'(\xi)}\right| \cdot |f(x_1) - f(x_2)|$。
公式：柯西中值定理：$\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)} = \frac{g'(\xi)}{f'(\xi)}$
提示：注意这里对 $g(x^3)$ 求导得 $3x^2 g'(x^3)$，不要漏掉因子 $3x^2$。
步骤 3/8
目标：利用已知不等式放缩
由题设条件 $x^2 |g'(x^3)| < \frac{1}{3} f'(x)$，可得 $3\xi^2 |g'(\xi^3)| < f'(\xi)$。因此 $\left|\frac{3\xi^2 g'(\xi^3)}{f'(\xi)}\right| < 1$。代入上式得 $|g(x_1^3) - g(x_2^3)| < |f(x_1) - f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$。
公式：条件不等式：$x^2 |g'(x^3)| < \frac{1}{3} f'(x)$
提示：注意 $f'(\xi)$ 可能为负，但绝对值不等式成立，因为 $f'(\xi) > 0$ 由条件隐含？实际上条件只给出不等式，但 $f'(x)$ 可能为负？但绝对值处理时需小心，这里假设 $f'(\xi) > 0$，否则需加绝对值。但原题条件未明确，通常理解为 $f'(x) > 0$ 以保证不等式有意义。
步骤 4/8
目标：由柯西准则得到g(x^3)的极限存在
由上述推导，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $A > 0$，当 $x_1, x_2 > A$ 时，$|g(x_1^3) - g(x_2^3)| < \varepsilon$。根据柯西收敛准则，$\lim_{x \to +\infty} g(x^3)$ 存在。
公式：柯西收敛准则
提示：注意这里变量是 $x$，但 $x^3$ 是单调递增的，所以 $g(x^3)$ 的极限存在等价于 $g(t)$ 当 $t \to +\infty$ 的极限存在。
步骤 5/8
目标：转化为g(x)的极限存在
令 $t = x^3$，则当 $x \to +\infty$ 时 $t \to +\infty$。由于 $\lim_{x \to +\infty} g(x^3)$ 存在，即 $\lim_{t \to +\infty} g(t)$ 存在。因此 $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ 存在。
提示：注意变量替换后极限变量一致。
步骤 6/8
目标：第二问：构造数列并应用中值定理
记 $x_n = f(1/n)$，$n \geq 1$。对任意 $n, p \in \mathbb{N}^+$，由微分中值定理，存在 $\xi$ 介于 $1/(n+p)$ 与 $1/n$ 之间，使得 $|x_{n+p} - x_n| = |f(1/(n+p)) - f(1/n)| = |f'(\xi)| \cdot |1/(n+p) - 1/n|$。
公式：拉格朗日中值定理：$|f(b)-f(a)| = |f'(\xi)||b-a|$
提示：注意 $\xi$ 在 $(1/(n+p), 1/n)$ 内，且 $f'(\xi)$ 有界。
步骤 7/8
目标：利用导数有界性放缩
由条件 $|f'(x)| \leq 1$，得 $|x_{n+p} - x_n| \leq 1 \cdot \left|\frac{1}{n+p} - \frac{1}{n}\right| = \frac{p}{n(n+p)} < \frac{1}{n}$。
公式：条件 $|f'(x)| \leq 1$
提示：注意 $\frac{p}{n(n+p)} < \frac{1}{n}$ 是因为 $p/(n+p) < 1$。
步骤 8/8
目标：应用柯西准则证明数列极限存在
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N > 1/\varepsilon$，则当 $n > N$ 时，对任意 $p > 0$，有 $|x_{n+p} - x_n| < 1/n < 1/N < \varepsilon$。由柯西收敛准则，数列 $\{x_n\}$ 收敛，即 $\lim_{n \to \infty} f(1/n)$ 存在。
公式：柯西收敛准则
提示：注意 $n$ 是整数，但 $1/n$ 趋于0，所以极限是 $f(0^+)$ 的极限。
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