上册 3.5 不等式证明 第1题
📝 题目
1．证明下列不等式．
（1）当 $\displaystyle 00$ 时，$\displaystyle x>\sin x>x-\frac{x^{3}}{3!}$ 。
（4）当 $\displaystyle 0x+\frac{x^{3}}{3}$ 或 $\displaystyle \tan x>x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}$ ．
（5）当 $\displaystyle 0\frac{x}{\sin x}$ ．
（6）当 $\displaystyle 03 x$ 或 $\displaystyle \frac{1}{3} \tan x+\frac{2}{3} \sin x>x$ 。
（7）当 $\displaystyle 02 x$ 。
（8）当 $\displaystyle 0\cos x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（9）当 $\displaystyle 01+x-x^{2}, x \in(0,+\infty)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\displaystyle g(x)=x-\sin x, 00$ 。于是 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上严格递增．故 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$g(x)>g(0)$ ，即 $\sin xf\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ ，得证．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sin x-x+\frac{1}{3 \pi} x^{3}$ ，则 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(x)=\cos x-1+\frac{1}{\pi} x^{2}, f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(x)=-\sin x+\frac{2}{\pi} x$ ．
由（1）知 当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=-\sin x+\frac{2}{\pi} x<0$ 。所以 $f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 严格单调递减，$f^{\prime}(x)0$ 有 $f^{\prime \prime}(x)>f^{\prime \prime}(0)=0$ ，即得 $\sin x0$ 有 $f^{\prime}(x)>f^{\prime}(0)=0$ ．故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 严格单调增加，对 $x>0$ 有 $f(x)>f(0)=0$ ，即 $\displaystyle x-\frac{x^{3}}{6}<\sin x$ 。
综上得，$\displaystyle x>\sin x>x-\frac{x^{3}}{3!}$ ．
注：另一证明方法见第 4 章 4.4 积分不等式 6（1）．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\tan x-x-\frac{x^{3}}{3}$ ，则 $f(0)=0$ ，且 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内可导，$f^{\prime}(x)=\sec ^{2} x-1-x^{2}=\tan ^{2} x-x^{2}$ ．
令 $g(x)=\tan x-x, g(0)=0$ ，则 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上连续，在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内可导，
$$
g^{\prime}(x)=\sec ^{2} x-1=\tan ^{2} x>0
$$
于是 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上严格递增。当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$g(x)>g(0)=0$ ，即 $\tan x>x$ 。从而 $f^{\prime}(x)>0$ ，所以 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上严格递增。故当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$f(x)>f(0)$ ，即 $\displaystyle \tan x>x+\frac{x^{3}}{3}$ ．进一步有 $\displaystyle \tan x>x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}$.
（5）设 $f(x)=\sin x \tan x-x^{2}$ ，则
$$
\begin{aligned}
& f^{\prime}(x)=\sin x\left(1+\sec ^{2} x\right)-2 x \\
& f^{\prime \prime}(x)=\cos x\left(1+\sec ^{2} x\right)+2 \sin x \sec ^{2} x \tan x-2=\left(\cos x+\frac{1}{\cos x}-2\right)+2 \sec x \tan ^{2} x>0
\end{aligned}
$$
所以 $f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上严格递增，$f^{\prime}(x)>\lim _{x \rightarrow 0^{\circ}}\left[\sin x\left(1+\sec ^{2} x\right)-2 x\right]=0$ 。从而 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上严格递增，故 $f(x)>\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0$ ．
（6）令 $f(x)=\tan x+2 \sin x-3 x$ ，则 $\displaystyle \forall x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
$$
f^{\prime}(x)=\sec ^{2} x+2 \cos x-3 \geqslant 3 \sqrt[3]{\sec ^{2} x \cos x \cos x}-3=0
$$
等号仅在 $x=0$ 成立。所以 $f(x)$ 严格单调增加，从而 $f(x)>0$ ，即 $\displaystyle \tan x+2 \sin x>3 x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（7）令 $\displaystyle f(x)=\tan x+\sin x-2 x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则
$$
f^{\prime}(x)=\sec ^{2} x+\cos x-2 \geqslant 2 \sqrt{\sec ^{2} x \cos x}-2=2(\sqrt{\sec x}-1)>0
$$
所以 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 严格单调增加，从而 $f(x)>0$ ，即 $\displaystyle \tan x+\sin x>2 x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{1+\frac{x^{4}}{4}}-\frac{x^{2}}{2}-\cos x$ ，则
$$
f(0)=0, f^{\prime}(x)=\frac{x^{3}}{2}\left(1+\frac{x^{4}}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-x+\sin x \geqslant \frac{x^{3}}{2}\left(1+\frac{x^{4}}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{6} x^{3}=\frac{1}{2} x^{3}\left[\left(1+\frac{x^{4}}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}\right]>0 .
$$
所以 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 严格单调增加．于是 $f(x)>f(0)=0$ ，即 $\displaystyle \sqrt{1+\frac{x^{4}}{4}}-\frac{x^{2}}{2}>\cos x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（9）设 $\displaystyle f(x)=x \cos x-(1+\sin x) \ln (1+\sin x), x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则
$$
f(0)=0, f^{\prime}(x)=\cos x-x \sin x-\cos x \ln (1+\sin x)-\cos x=-x \sin x-\cos x \ln (1+\sin x)<0
$$
所以 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 严格单调递减。从而 $f(x)<0$ ，即 $x \cos x<(1+\sin x) \ln (1+\sin x)$ 。所以
$$
\frac{\cos x}{1+\sin x}<\frac{\ln (1+\sin x)}{x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
$$
（10）设 $f(x)=\cos x+\sin x-\left(1+x-x^{2}\right)$ ，则
$$
f(0)=0, f^{\prime}(x)=-\sin x+\cos x-1+2 x, f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(x)=-\cos x-\sin x+2>0
$$
当 $x>0$ 时，$f^{\prime}(x)>f^{\prime}(0)=0$ ，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 严格单调增加。于是 $f(x)>f(0)=0$ ，故
$$
\cos x+\sin x>1+x-x^{2}, x \in(0,+\infty)
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/11
目标：证明不等式 (1) 的右边部分：sin x < x
设 $g(x)=x-\sin x$，$00$（因为 $\cos x<1$）。因此 $g(x)$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上严格递增，故 $g(x)>g(0)=0$，即 $\sin x
公式：$g'(x)=1-\cos x$
提示：注意 $g(0)=0$，且导数恒正，才能得到严格递增。
步骤 2/11
目标：证明不等式 (1) 的左边部分：$\frac{2}{\pi}x<\sin x$
设 $f(x)=\frac{\sin x}{x}-\frac{2}{\pi}$，$0f(\frac{\pi}{2})=0$，即 $\frac{\sin x}{x}>\frac{2}{\pi}$，得证。
公式：$f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$
提示：注意 $h(0)=0$，且 $h'(x)<0$ 推出 $h(x)<0$。
步骤 3/11
目标：证明不等式 (2)：$\sin x < x - \frac{1}{3\pi}x^3$
设 $f(x)=\sin x - x + \frac{1}{3\pi}x^3$，则 $f(0)=0$，$f'(x)=\cos x -1 + \frac{1}{\pi}x^2$，$f'(0)=0$，$f''(x)=-\sin x + \frac{2}{\pi}x$。由 (1) 知 $\sin x > \frac{2}{\pi}x$，故 $f''(x)<0$，所以 $f'(x)$ 严格递减，$f'(x)
公式：$f''(x)=-\sin x+\frac{2}{\pi}x$
提示：利用已证不等式 (1) 的左边部分来得到 $f''(x)<0$。
步骤 4/11
目标：证明不等式 (3)：$x > \sin x > x - \frac{x^3}{3!}$
令 $f(x)=\sin x - x + \frac{x^3}{6}$，则 $f'(x)=\cos x -1 + \frac{x^2}{2}$，$f''(x)=-\sin x + x$，$f'''(x)=-\cos x +1 \ge 0$。由于 $f'''(x)\ge0$ 且不恒为零，$f''(x)$ 严格递增，$f''(x)>f''(0)=0$，故 $f'(x)$ 严格递增，$f'(x)>f'(0)=0$，从而 $f(x)$ 严格递增，$f(x)>f(0)=0$，即 $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$。结合 (1) 的 $\sin x < x$，得证。
公式：$f'''(x)=1-\cos x$
提示：注意 $f'''(x)\ge0$ 推出 $f''(x)$ 递增，但需验证 $f''(0)=0$。
步骤 5/11
目标：证明不等式 (4)：$\tan x > x + \frac{x^3}{3}$
设 $f(x)=\tan x - x - \frac{x^3}{3}$，则 $f(0)=0$，$f'(x)=\sec^2 x -1 - x^2 = \tan^2 x - x^2$。令 $g(x)=\tan x - x$，则 $g(0)=0$，$g'(x)=\sec^2 x -1 = \tan^2 x >0$，故 $g(x)>0$，即 $\tan x > x$，从而 $f'(x)>0$，$f(x)$ 严格递增，$f(x)>f(0)=0$，得证。
公式：$f'(x)=\tan^2 x - x^2$
提示：先证 $\tan x > x$ 是常用技巧。
步骤 6/11
目标：证明不等式 (5)：$\frac{\tan x}{x} > \frac{x}{\sin x}$
等价于证明 $\sin x \tan x > x^2$。设 $f(x)=\sin x \tan x - x^2$，则 $f'(x)=\sin x (1+\sec^2 x) - 2x$，$f''(x)=\cos x(1+\sec^2 x) + 2\sin x \sec^2 x \tan x - 2 = (\cos x + \frac{1}{\cos x} - 2) + 2\sec x \tan^2 x >0$。故 $f'(x)$ 严格递增，$f'(x)>f'(0)=0$，从而 $f(x)$ 严格递增，$f(x)>f(0)=0$，得证。
公式：$f''(x)=\cos x+\frac{1}{\cos x}-2+2\sec x\tan^2 x$
提示：注意 $f'(0)=0$，需通过二阶导判断一阶导符号。
步骤 7/11
目标：证明不等式 (6)：$\tan x + 2\sin x > 3x$
设 $f(x)=\tan x + 2\sin x - 3x$，则 $f'(x)=\sec^2 x + 2\cos x - 3$。由均值不等式，$\sec^2 x + 2\cos x \ge 3\sqrt[3]{\sec^2 x \cdot \cos x \cdot \cos x}=3$，等号仅当 $\sec^2 x = \cos x$ 即 $x=0$ 时成立。故 $f'(x)>0$ 对 $x>0$，$f(x)$ 严格递增，$f(x)>f(0)=0$，得证。
公式：$\sec^2 x + 2\cos x \ge 3$
提示：使用均值不等式时注意等号成立条件。
步骤 8/11
目标：证明不等式 (7)：$\tan x + \sin x > 2x$
设 $f(x)=\tan x + \sin x - 2x$，则 $f'(x)=\sec^2 x + \cos x - 2$。由均值不等式，$\sec^2 x + \cos x \ge 2\sqrt{\sec^2 x \cdot \cos x}=2\sqrt{\sec x}>2$（因为 $\sec x>1$），故 $f'(x)>0$，$f(x)$ 严格递增，$f(x)>f(0)=0$，得证。
公式：$\sec^2 x + \cos x \ge 2\sqrt{\sec x}$
提示：注意 $\sec x>1$ 时 $2\sqrt{\sec x}>2$。
步骤 9/11
目标：证明不等式 (8)：$\sqrt{1+\frac{x^4}{4}} - \frac{x^2}{2} > \cos x$
设 $f(x)=\sqrt{1+\frac{x^4}{4}} - \frac{x^2}{2} - \cos x$，则 $f(0)=0$，$f'(x)=\frac{x^3}{2}\left(1+\frac{x^4}{4}\right)^{-1/2} - x + \sin x$。利用 $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$（由 (3)），得 $f'(x) > \frac{x^3}{2}\left(1+\frac{x^4}{4}\right)^{-1/2} - \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{2}\left[\left(1+\frac{x^4}{4}\right)^{-1/2} - \frac{1}{3}\right]$。由于 $\left(1+\frac{x^4}{4}\right)^{-1/2} > \left(1+\frac{x^4}{4}\right)^{-1} > \frac{1}{3}$（因为 $x<\frac{\pi}{2}$ 时 $x^4<\frac{\pi^4}{16}<4$，故 $1+\frac{x^4}{4}<2$，倒数大于 $1/2$），所以 $f'(x)>0$，$f(x)$ 严格递增，$f(x)>f(0)=0$，得证。
公式：$\sin x > x - \frac{x^3}{6}$
提示：利用已证不等式 (3) 进行放缩。
步骤 10/11
目标：证明不等式 (9)：$\frac{\cos x}{1+\sin x} < \frac{\ln(1+\sin x)}{x}$
等价于 $x\cos x < (1+\sin x)\ln(1+\sin x)$。设 $f(x)=x\cos x - (1+\sin x)\ln(1+\sin x)$，则 $f(0)=0$，$f'(x)=\cos x - x\sin x - \cos x \ln(1+\sin x) - \cos x = -x\sin x - \cos x \ln(1+\sin x) < 0$（因为 $x>0$，$\sin x>0$，$\cos x>0$，$\ln(1+\sin x)>0$）。故 $f(x)$ 严格递减，$f(x)
公式：$f'(x)=-x\sin x - \cos x \ln(1+\sin x)$
提示：注意 $f(0)=0$，导数负说明函数递减。
步骤 11/11
目标：证明不等式 (10)：$\cos x + \sin x > 1 + x - x^2$
设 $f(x)=\cos x + \sin x - (1+x-x^2)$，则 $f(0)=0$，$f'(x)=-\sin x + \cos x -1 + 2x$，$f'(0)=0$，$f''(x)=-\cos x - \sin x + 2$。由于 $\cos x + \sin x \le \sqrt{2} < 2$，故 $f''(x)>0$，所以 $f'(x)$ 严格递增，$f'(x)>f'(0)=0$，从而 $f(x)$ 严格递增，$f(x)>f(0)=0$，得证。
公式：$f''(x)=2-\cos x-\sin x$
提示：注意 $f'(0)=0$，需通过二阶导判断一阶导符号。
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