上册 3.5 不等式证明 第2题
📝 题目
2．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)0$ 。聊城大学2008，南京理工 2010，哈工大 2009，曲阜师大 2005，湘潭 大学 2008，上海大学 2003）
（2）$\displaystyle \frac{1}{1+x}<\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}, x>0$ 。
（3） $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}<1, x>0$ ．
（4） $\displaystyle 0<\frac{1}{x}+\frac{1}{\ln (1-x)}<1, x<0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $f(t)=\ln t$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{1}{t}, f(t)$ 在 $[1,1+x]$ 上满足拉格朗日定理条件．于是
$$
\ln (1+x)=\ln (1+x)-\ln 1=f^{\prime}(\xi)(1+x-1)=\frac{1}{\xi} \cdot x \text {, 其中 } 0<\frac{1}{1+x}<\frac{1}{\xi}<1 \text {. }
$$
当 $x>0$ 时有 $\displaystyle \frac{x}{1+x}<\frac{x}{\xi}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)>\frac{1}{1+x}$ ．
（3）由拉格朗日中值定理得
$$
\ln (1+x)=\ln (1+x)-\ln 1=\frac{x}{1+\theta x} \text {, 其中 } 0<\theta<1 \text {. }
$$
于是当 $x>0$ 时，$\displaystyle \frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}=\frac{1+\theta x}{x}-\frac{1}{x}=\theta$ ．故 $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}<1$ ．
（4）方法 1：由（3）知，当 $-x>0$ 时有 $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln (1-x)}-\frac{1}{-x}<1$ ，故当 $x<0$ 时有 $\displaystyle 0<\frac{1}{x}+\frac{1}{\ln (1-x)}<1$ ．
方法2：由于 $x<0$ 时， $\ln (1-x)>0$ ，所以
$$
0<\frac{1}{x}+\frac{1}{\ln (1-x)}<1 \text { 等价于 } x \ln (1-x)-x-\ln (1-x)<0 \text {. }
$$
记 $f(x)=x \ln (1-x)-x-\ln (1-x), x \in(-\infty, 0]$ ，则
$$
f(0)=0, f^{\prime}(x)=\ln (1-x)-\frac{x}{1-x}-1+\frac{1}{1-x}=\ln (1-x)>0
$$
所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 严格单调递增．故 $\forall x \in(-\infty, 0), f(x)<0$ ，结论成立．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明不等式(1)：利用拉格朗日中值定理
设 $f(t)=\ln t$，则 $f'(t)=\frac{1}{t}$。$f(t)$ 在 $[1,1+x]$ 上满足拉格朗日中值定理条件，存在 $\xi \in (1,1+x)$ 使得 $\ln(1+x)=\ln(1+x)-\ln 1 = f'(\xi)(1+x-1)=\frac{x}{\xi}$。由于 $1<\xi<1+x$，故 $\frac{1}{1+x}<\frac{1}{\xi}<1$，从而 $\frac{x}{1+x}<\frac{x}{\xi}
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
提示：注意 $\xi$ 介于 $1$ 和 $1+x$ 之间，且 $x>0$，因此 $\frac{1}{\xi}$ 介于 $\frac{1}{1+x}$ 和 $1$ 之间。
步骤 2/5
目标：证明不等式(2)：通过变量代换转化为(1)
令 $t=\frac{1}{x}$，由(1)知 $\frac{t}{1+t}<\ln(1+t)0$ 成立。代入 $t=\frac{1}{x}$ 得 $\frac{1/x}{1+1/x}<\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}$，即 $\frac{1}{1+x}<\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}$。
公式：不等式(1)：$\frac{t}{1+t}<\ln(1+t)
提示：注意 $x>0$ 时 $t>0$，代换后不等式方向不变。
步骤 3/5
目标：证明不等式(3)：利用拉格朗日中值定理的另一种形式
由拉格朗日中值定理，$\ln(1+x)=\ln(1+x)-\ln 1 = \frac{x}{1+\theta x}$，其中 $0<\theta<1$。于是 $\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x} = \frac{1+\theta x}{x} - \frac{1}{x} = \theta$。由于 $0<\theta<1$，故 $0<\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}<1$。
公式：拉格朗日中值定理：$\ln(1+x)=\frac{x}{1+\theta x}$
提示：注意 $\theta$ 依赖于 $x$，但始终在 $(0,1)$ 内。
步骤 4/5
目标：证明不等式(4)方法1：利用(3)和变量代换
由(3)知，对 $-x>0$ 有 $0<\frac{1}{\ln(1-(-x))}-\frac{1}{-x}<1$，即 $0<\frac{1}{\ln(1-x)}-\frac{1}{-x}<1$。整理得 $0<\frac{1}{x}+\frac{1}{\ln(1-x)}<1$。
公式：不等式(3)：$0<\frac{1}{\ln(1+t)}-\frac{1}{t}<1$
提示：注意 $x<0$ 时 $-x>0$，直接代入(3)即可。
步骤 5/5
目标：证明不等式(4)方法2：构造函数并利用单调性
由于 $x<0$ 时 $\ln(1-x)>0$，不等式 $0<\frac{1}{x}+\frac{1}{\ln(1-x)}<1$ 等价于 $x\ln(1-x)-x-\ln(1-x)<0$。令 $f(x)=x\ln(1-x)-x-\ln(1-x)$，$x\in(-\infty,0]$。计算 $f(0)=0$，$f'(x)=\ln(1-x)-\frac{x}{1-x}-1+\frac{1}{1-x}=\ln(1-x)>0$（因为 $x<0$ 时 $1-x>1$，$\ln(1-x)>0$）。所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 严格递增，故 $f(x)
公式：导数：$f'(x)=\ln(1-x)$
提示：求导时注意复合函数求导，$\frac{d}{dx}\ln(1-x)=\frac{-1}{1-x}$，以及 $\frac{d}{dx}[x\ln(1-x)]=\ln(1-x)+\frac{-x}{1-x}$。
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