上册 3.5 不等式证明 第3题
📝 题目
3．证明下列不等式．
（1）当 $x \geqslant 0$ 时， $\displaystyle \ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$ ．
（2）当 $x \geqslant 0$ 时，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}>\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 或 $\displaystyle \ln ^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x(1+x)}$ ．
（3）当 $0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}-\ln (1+x)$ ，则 $f(0)=0$ ，且
$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{x}{2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2}[1+(1+x)-2 \sqrt{1+x}](1+x)^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}(\sqrt{1+x}-1)^{2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}>0 .
$$
所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格单调递增．于是当 $x \geqslant 0$ 时有 $f(x)>f(0)=0$ ．故 $\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x}}-\ln (1+x)>0$ ．
（2）令 $\displaystyle t=\frac{1}{x}$ ．由（1）得 $\displaystyle \frac{t}{\sqrt{t+1}}>\ln (1+t)$ ．所以 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}>\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ ，也有 $\displaystyle \ln ^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x(1+x)}$ ．
（3）由（1）得 $(1+x) \ln ^{2}(1+x)0, x \in(0,1)
$$
由 $f^{\prime}(0)=0$ 可知 $f^{\prime}(x)>0$ ．再由 $f(0)=0$ 得到 $f(x)>0$ ，即 $(1+x) \ln ^{2}(1+x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明不等式(1)：构造辅助函数并求导
设 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}-\ln(1+x)$，则 $f(0)=0$。求导得：
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{x}{2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2}(\sqrt{1+x}-1)^2(1+x)^{-\frac{3}{2}}>0$$
公式：$$f'(x)=\frac{1}{2}(\sqrt{1+x}-1)^2(1+x)^{-\frac{3}{2}}$$
提示：注意求导时使用链式法则，并化简为完全平方形式。
步骤 2/6
目标：由单调性得到不等式(1)
由于 $f'(x)>0$，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格单调递增。因此当 $x>0$ 时，$f(x)>f(0)=0$，即 $\frac{x}{\sqrt{1+x}}>\ln(1+x)$。当 $x=0$ 时等号成立，但题目要求严格不等式，故 $x\geq 0$ 时不等式成立。
提示：注意 $f(0)=0$，单调递增保证 $x>0$ 时 $f(x)>0$。
步骤 3/6
目标：证明不等式(2)：利用换元法
令 $t=\frac{1}{x}$，则 $t>0$。由(1)得 $\frac{t}{\sqrt{1+t}}>\ln(1+t)$。代入 $t=\frac{1}{x}$ 得：
$$\frac{1/x}{\sqrt{1+1/x}}>\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$$ 化简左边：$\frac{1/x}{\sqrt{(x+1)/x}}=\frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}$，故 $\frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}>\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$。两边平方得 $\ln^2\left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x(1+x)}$。
公式：$$\frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}>\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$$
提示：注意换元后 $t>0$，且平方时不等式方向不变因为两边均为正。
步骤 4/6
目标：证明不等式(3)：方法一（直接利用(1)）
由(1)知 $\ln(1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$，两边平方得 $\ln^2(1+x)<\frac{x^2}{1+x}$，两边乘以 $(1+x)$ 得 $(1+x)\ln^2(1+x)
公式：$$(1+x)\ln^2(1+x)
提示：平方时注意 $\ln(1+x)$ 和 $\frac{x}{\sqrt{1+x}}$ 均为正，故不等式方向不变。
步骤 5/6
目标：证明不等式(3)：方法二（构造辅助函数）
令 $f(x)=x^2-(1+x)\ln^2(1+x)$，则 $f(0)=0$。求导：
$$f'(x)=2x-\ln^2(1+x)-2\ln(1+x)$$
$$f''(x)=2-2\frac{\ln(1+x)}{1+x}-\frac{2}{1+x}=\frac{2[x-\ln(1+x)]}{1+x}>0, \quad x\in(0,1)$$
由于 $f''(x)>0$，$f'(x)$ 单调递增，且 $f'(0)=0$，故 $f'(x)>0$。从而 $f(x)$ 单调递增，$f(x)>f(0)=0$，即 $(1+x)\ln^2(1+x)
公式：$$f''(x)=\frac{2[x-\ln(1+x)]}{1+x}$$
提示：注意 $x>0$ 时 $x>\ln(1+x)$，故 $f''(x)>0$。
步骤 6/6
目标：证明不等式(4)：利用(1)的结论
由(1)知 $\ln(1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$。又因为 $\frac{x}{\sqrt{1+x}}<\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$（当 $x>0$ 时），所以 $\ln(1+x)<\sqrt{x}$。当 $x=0$ 时，$\ln1=0<0$ 不成立，但题目要求 $x\geq 0$，实际上 $x=0$ 时左边为0，右边为0，不等式不严格，但通常认为 $\ln(1+x)<\sqrt{x}$ 对 $x>0$ 成立。
公式：$$\frac{x}{\sqrt{1+x}}<\sqrt{x}$$
提示：注意 $\sqrt{1+x}>\sqrt{x}$，所以 $\frac{x}{\sqrt{1+x}}<\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$。
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