上册 3.5 不等式证明 第4题
📝 题目
4．证明下列不等式．
（1） $\displaystyle \arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}, x>0$ 。
（2） $\displaystyle \ln (1+x)0$ ．
（3）$\displaystyle x-\frac{x^{2}}{2}<\ln (1+x)0$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\displaystyle f(x)=\arctan x+\frac{1}{x}, x>0$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}=-\frac{1}{\left(1+x^{2}\right) x^{2}}<0$ ．所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上：严格单调递减。从而当 $x>0$ 时，$\displaystyle f(x)>\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\frac{\pi}{2}$ ，即 $\displaystyle \arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}$ ．
（2）由 Taylor 公式得： $\displaystyle \ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4(1+\xi)^{4}}0$ ，则 $f(0)=0$ 且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-x-\frac{1}{1+x}=\frac{-x^{2}}{1+x}<0$ ．所以 $f(x)$ 在 $x>0$ 严格单调递减．又因 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，故 $f(x)0$ ．
其次证明： $\displaystyle \ln (1+x)0$ ．
令 $\displaystyle g(x)=x-\frac{x^{2}}{2(1+x)}-\ln (1+x), x>0$ ，则 $g(0)=0$ ，且 $\displaystyle g^{\prime}(x)=1-\frac{2 x+x^{2}}{2(1+x)^{2}}-\frac{1}{1+x}=\frac{x^{2}}{(1+x)^{2}}>0$ 。所以 $g(x)$ 在 $x>0$ 严格单调递增．又因 $g(x)$ 在 $x=0$ 连续，于是 $g(x)>g(0)=0$ ，从而 $\displaystyle \ln (1+x)0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明不等式 (1)：构造辅助函数并求导
设 $f(x)=\arctan x+\frac{1}{x}, x>0$，则 $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{(1+x^2)x^2}<0$。
公式：$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}$
提示：注意求导时 $\frac{1}{x}$ 的导数为 $-\frac{1}{x^2}$，不要忘记负号。
步骤 2/8
目标：证明不等式 (1)：利用单调性得到不等式
由于 $f'(x)<0$，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递减。因此当 $x>0$ 时，$f(x)>\lim_{x\to +\infty} f(x)=\frac{\pi}{2}$，即 $\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}$。
公式：$\lim_{x\to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$，$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}=0$
提示：注意极限计算：$\arctan x$ 趋于 $\frac{\pi}{2}$，$\frac{1}{x}$ 趋于 0。
步骤 3/8
目标：证明不等式 (2)：使用泰勒公式展开
由泰勒公式，$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4(1+\xi)^4}$，其中 $0<\xi
公式：$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4(1+\xi)^4}$
提示：注意余项为负，因此不等式方向正确。
步骤 4/8
目标：证明不等式 (3) 的左半部分：构造辅助函数并求导
令 $f(x)=x-\frac{x^2}{2}-\ln(1+x), x>0$，则 $f(0)=0$，且 $f'(x)=1-x-\frac{1}{1+x}=\frac{-x^2}{1+x}<0$。
公式：$f'(x)=1-x-\frac{1}{1+x}$
提示：注意 $\ln(1+x)$ 的导数为 $\frac{1}{1+x}$。
步骤 5/8
目标：证明不等式 (3) 的左半部分：利用单调性得到不等式
由于 $f'(x)<0$，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递减。又 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，故 $f(x)
提示：注意单调递减时，$f(x)0$ 成立。
步骤 6/8
目标：证明不等式 (3) 的右半部分：构造辅助函数并求导
令 $g(x)=x-\frac{x^2}{2(1+x)}-\ln(1+x), x>0$，则 $g(0)=0$，且 $g'(x)=1-\frac{2x+x^2}{2(1+x)^2}-\frac{1}{1+x}=\frac{x^2}{(1+x)^2}>0$。
公式：$g'(x)=1-\frac{2x+x^2}{2(1+x)^2}-\frac{1}{1+x}$
提示：求导时注意分式求导法则，化简后分子为 $x^2$。
步骤 7/8
目标：证明不等式 (3) 的右半部分：利用单调性得到不等式
由于 $g'(x)>0$，$g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递增。又 $g(x)$ 在 $x=0$ 连续，故 $g(x)>g(0)=0$，即 $\ln(1+x)
提示：注意单调递增时，$g(x)>g(0)$ 对 $x>0$ 成立。
步骤 8/8
目标：综合不等式 (3) 的左右两部分
由左半部分 $x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)$ 和右半部分 $\ln(1+x)0$。
提示：注意两个不等式方向一致，可以合并。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。