上册 3.5 不等式证明 第5题
📝 题目
5．证明下列不等式．
（1） $\displaystyle 2 x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<1+\frac{x}{1+x}, x>0$ ．
（2） $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)>\sqrt{1+x^{2}}, x \neq 0$ ．
（3）$\left(x^{2}-1\right) \ln x \geqslant(x-1)^{2}, x>0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）欲证的不等式等价于 $\displaystyle 2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x},(x>0)$ ．
设 $\displaystyle f(x)=2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x}\right)$ ，则
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, f^{\prime}(x)=2\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{(1+x)^{2}}\right)=-2 \frac{1}{x+1} \frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{(1+x)^{2}}\right)>0,(x>0)
$$
所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递增．从而 $f(x)<\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，结果得证．
（2）设 $f(x)=1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\sqrt{1+x^{2}}$ ，则
$$
f(0)=0 \text {, 且 } f^{\prime}(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}-\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)>0, x \in(0,+\infty) \text {. }
$$
所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递增．从而 $f(x)>0$ ，即 $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)>\sqrt{1+x^{2}}, x \in(0,+\infty)$ ．
$$
f^{\prime}(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}-\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)<0, x \in(-\infty, 0)
$$
所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上严格单调递减．从而 $f(x)>0$ ，即 $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)>\sqrt{1+x^{2}}, x \in(-\infty, 0)$ ．
综上得 $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)>\sqrt{1+x^{2}}, x \neq 0$ ．
（3）方法 1：设 $f(x)=\left(x^{2}-1\right) \ln x-(x-1)^{2}$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2 x \ln x-x+2-\frac{1}{x}$ ．
由 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x=1$ ．
又
$$
f^{\prime \prime}(x)=2 \ln x+1+\frac{1}{x^{2}}, f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{2\left(x^{2}-1\right)}{x^{3}}
$$
当 $00$ ．从而 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=1$ 取得最小值．当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f^{\prime \prime}(x) \geqslant f^{\prime \prime}(1)=2>0$ ，进一步知 $f^{\prime}(x)$ 严格递增。
当 $0f^{\prime}(1)=0$ 。所以 $f(1)=0$ 为 $f(x)$ 的最小值，故 $00$ ．由泰勒公式有
$$
f(x)=f(1)+f^{\prime}(1)(x-1)+\frac{1}{2!} f^{\prime \prime}(1)(x-1)^{2}+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime \prime}(1)(x-1)^{3}=(x-1)^{2}+\frac{1}{6} f^{\prime \prime \prime}(\xi)(x-1)^{3} \geqslant 0
$$
即 $\left(x^{2}-1\right) \ln x-(x-1)^{2} \geqslant 0$ ．
方法3：令 $\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{x-1}{x+1}$ ，则 $\displaystyle f(1)=0, f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{2}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+1}{x(x+1)^{2}}>0(x>0)$ ．
当 $00$ 。当 $1f(1)=0$ ，从而 $\left(x^{2}-1\right) f(x)>0$ ．故当 $01$ ．于是
$$
\left(x^{2}-1\right) \ln x-(x-1)^{2}=(x-1)^{2}\left(\frac{x+1}{\xi}-1\right)>0
$$
当 $x=1$ 时，显然不等式成立，故原不等式成立．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：化简不等式（1）
原不等式为 $2x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) < 1 + \frac{x}{1+x}$，两边除以 $x$（$x>0$）得等价形式：$2\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x} + \frac{1}{1+x}$。
提示：注意 $x>0$，除以 $x$ 不改变不等号方向。
步骤 2/8
目标：构造函数并求导（1）
令 $f(x)=2\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x}\right)$。求导得 $f'(x)=2\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right) + \left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(1+x)^2}\right) = -\frac{2}{x(x+1)} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(1+x)^2}$。化简得 $f'(x)=\frac{1}{x^2(x+1)^2} > 0$（$x>0$）。
公式：$\frac{d}{dx}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x(x+1)}$
提示：求导时注意复合函数求导，化简要仔细。
步骤 3/8
目标：利用单调性证明（1）
由于 $f'(x)>0$，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 严格递增。又 $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$，故 $f(x)<0$，即原不等式成立。
提示：极限计算：$\lim_{x\to+\infty} \ln(1+1/x)=0$，$1/x$ 和 $1/(1+x)$ 趋于0。
步骤 4/8
目标：构造函数并求导（2）
令 $f(x)=1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{1+x^2}$。求导得 $f'(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2}) + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \ln(x+\sqrt{1+x^2})$。
公式：$\frac{d}{dx}\ln(x+\sqrt{1+x^2}) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
提示：注意 $\sqrt{1+x^2}$ 的导数为 $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。
步骤 5/8
目标：分区间讨论单调性（2）
当 $x>0$ 时，$x+\sqrt{1+x^2}>1$，故 $f'(x)>0$，$f(x)$ 递增；又 $f(0)=0$，所以 $f(x)>0$。当 $x<0$ 时，$x+\sqrt{1+x^2}<1$，故 $f'(x)<0$，$f(x)$ 递减；又 $f(0)=0$，所以 $f(x)>0$。因此 $x\neq0$ 时不等式成立。
提示：注意 $x<0$ 时 $\ln(x+\sqrt{1+x^2})<0$。
步骤 6/8
目标：构造函数并求导（3）方法1
令 $f(x)=(x^2-1)\ln x - (x-1)^2$。求导得 $f'(x)=2x\ln x - x + 2 - \frac{1}{x}$，$f''(x)=2\ln x + 1 + \frac{1}{x^2}$，$f'''(x)=\frac{2(x^2-1)}{x^3}$。
公式：$\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x + x$
提示：求导时注意 $\ln x$ 的导数。
步骤 7/8
目标：利用二阶导符号判断极值（3）方法1
由 $f'''(x)$ 符号知 $f''(x)$ 在 $x=1$ 取最小值，$f''(1)=2>0$，故 $f''(x)>0$，$f'(x)$ 递增。又 $f'(1)=0$，所以 $01$ 时 $f'(x)>0$。因此 $f(1)=0$ 为最小值，故 $f(x)\ge0$。
提示：注意 $f''(x)>0$ 不能直接推出 $f'(x)$ 单调性，需结合 $f'(1)=0$。
步骤 8/8
目标：方法2：泰勒展开（3）
在 $x=1$ 处泰勒展开：$f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{1}{2}f''(1)(x-1)^2+\frac{1}{6}f'''(\xi)(x-1)^3$。代入 $f(1)=0$，$f'(1)=0$，$f''(1)=2$，得 $f(x)=(x-1)^2+\frac{1}{6}f'''(\xi)(x-1)^3$。由于 $f'''(\xi)$ 与 $(x-1)$ 同号，故 $\frac{1}{6}f'''(\xi)(x-1)^3\ge0$，所以 $f(x)\ge0$。
公式：泰勒公式：$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x)$
提示：注意余项中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $1$ 之间，需判断 $f'''(\xi)(x-1)^3$ 的非负性。
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