上册 3.5 不等式证明 第6题
📝 题目
6．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{1-x}{1+x}<\mathrm{e}^{-2 x}$ 或 $\displaystyle \ln \frac{1+x}{1-x}>2 x,(0\frac{\arctan x}{1+x},(x>0)$ ．
（3）$\displaystyle \frac{1}{\sin ^{2} x} \leqslant \frac{1}{x^{2}}+1-\frac{4}{\pi^{2}},\left(01)$ ．
（5） $\mathrm{e}^{x}>1+(1+x) \ln (1+x),(x>0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}-2 x, 00
$$
所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格单调递增．于是 $f(x)>0$ ，即 $\displaystyle \ln \frac{1+x}{1-x}>2 x$ ，也有 $\displaystyle \frac{1-x}{1+x}<\mathrm{e}^{-2 x}$ ．
（2）不等式 $\displaystyle \ln (1+x)-\frac{\arctan x}{1+x}>0$ 等价于 $(1+x) \ln (1+x)>\arctan x(x>0)$ ．
设 $F(x)=(1+x) \ln (1+x)-\arctan x$ ，则 $\displaystyle F^{\prime}(x)=\ln (1+x)+1-\frac{1}{1+x^{2}}>0, x>0$ 。因此 $F(x)$ 在 $(0,+\infty)$上严 格 单 调 递 增．故 $F(x)>F(0)=0$ ，即 $(1+x) \ln (1+x)>\arctan x$ ．所 以 当 $x>0$ 时， $\displaystyle \ln (1+x)>\frac{\arctan x}{1+x}$.
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2}{x^{3}}-\frac{2 \cos x}{\sin ^{3} x}$ ．
再设 $\displaystyle g(x)=\frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos x}}-x$ ，则
$$
g^{\prime}(x)=\sqrt[3]{\cos ^{2} x}+\frac{1}{3} \sin ^{2} x \frac{1}{\sqrt[3]{\cos ^{4} x}}-1, g^{\prime \prime}(x)=\frac{4}{9} \sin ^{3} x \frac{1}{\sqrt[3]{\cos ^{7} x}}
$$
当 $\displaystyle 00$ ．这说明 $g^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上递增，$g^{\prime}(x)>g^{\prime}(0)=0$ ．由此得 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上递增，$g(x)>g(0)=0$ ．从而 $f^{\prime}(x)>0$ ．所以 $\displaystyle f(x)2 t$ ．让 $\displaystyle t=\frac{1}{x}$ 得 $x>1$ 且 $\displaystyle \ln \frac{x+1}{x-1}>\frac{2}{x}$ ．故 $\displaystyle \frac{x}{2} \ln \frac{x+1}{x-1}-1>0$ ．
下证：$\displaystyle \frac{x}{2} \ln \frac{x+1}{x-1}-1<\frac{1}{3\left(x^{2}-1\right)}$ ．
让 $\displaystyle t=\frac{1}{x}$ ，则当 $x>1$ 时有 $\displaystyle 02 t$ ．于是
$$
f^{\prime}(t)=-t \ln \frac{1+t}{1-t}+1-1+2 t^{2}=-t\left(\ln \frac{1+t}{1-t}-2 t\right)<0
$$
由此可知，当 $01$ 时，$\displaystyle \frac{x}{2} \ln \frac{x+1}{x-1}-1<\frac{1}{3\left(x^{2}-1\right)}$ ．
（5）设 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-1-(1+x) \ln (1+x), x>0$ ．由于 $\mathrm{e}^{x}>x+1, x>\ln (1+x)$ ，所以
$$
f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-1-\ln (1+x) \geqslant x+1-1-\ln (1+x)>0
$$
这说明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增．于是当 $x>0$ 时，$f(x)>f(0)=0$ ，即 $\mathrm{e}^{x}>1+(1+x) \ln (1+x)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明不等式 (1) 的左边部分
设 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}-2x$，$00$。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格单调递增，故 $f(x)>f(0)=0$，即 $\ln\frac{1+x}{1-x}>2x$，从而 $\frac{1-x}{1+x}
公式：$f'(x)=\frac{2x^2}{1-x^2}$
提示：注意定义域 $0
步骤 2/6
目标：证明不等式 (2)
原不等式等价于 $(1+x)\ln(1+x)>\arctan x$，$x>0$。设 $F(x)=(1+x)\ln(1+x)-\arctan x$，则 $F'(x)=\ln(1+x)+1-\frac{1}{1+x^2}$。由于 $x>0$ 时 $\ln(1+x)>0$，$1-\frac{1}{1+x^2}>0$，故 $F'(x)>0$，$F(x)$ 严格递增，$F(x)>F(0)=0$，即原不等式成立。
公式：$F'(x)=\ln(1+x)+1-\frac{1}{1+x^2}$
提示：注意 $F(0)=0$，且 $F'(x)>0$ 的证明需说明每一项为正。
步骤 3/6
目标：证明不等式 (3) 的左边部分
设 $f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{x^2}$，则 $f'(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{2\cos x}{\sin^3 x}$。再设 $g(x)=\frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos x}}-x$，计算 $g'(x)=\sqrt[3]{\cos^2 x}+\frac{1}{3}\sin^2 x\frac{1}{\sqrt[3]{\cos^4 x}}-1$，$g''(x)=\frac{4}{9}\sin^3 x\frac{1}{\sqrt[3]{\cos^7 x}}>0$ 在 $(0,\frac{\pi}{2}]$ 上。故 $g'(x)$ 递增，$g'(x)>g'(0)=0$，从而 $g(x)>g(0)=0$，即 $f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 递增，$f(x)\le f(\frac{\pi}{2})=1-\frac{4}{\pi^2}$，即 $\frac{1}{\sin^2 x}\le\frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}$。
公式：$f'(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{2\cos x}{\sin^3 x}$
提示：注意 $g''(x)>0$ 的推导，以及 $g'(0)=0$ 的极限处理。
步骤 4/6
目标：证明不等式 (4) 的左边部分
由 (1) 知，当 $02t$。令 $t=\frac{1}{x}$，则 $x>1$ 时 $\ln\frac{x+1}{x-1}>\frac{2}{x}$，故 $\frac{x}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}-1>0$。
公式：$\ln\frac{1+t}{1-t}>2t$
提示：注意变量代换 $t=1/x$ 后定义域的变化。
步骤 5/6
目标：证明不等式 (4) 的右边部分
需证 $\frac{x}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}-1<\frac{1}{3(x^2-1)}$。令 $t=\frac{1}{x}$，则 $02t$）。故 $f(t)$ 递减，$f(t)<\lim_{t\to0^+}f(t)=0$，即原不等式成立。
公式：$f'(t)=-t(\ln\frac{1+t}{1-t}-2t)$
提示：注意 $f(t)$ 在 $t=0$ 处的极限为0，且 $f'(t)<0$ 的推导依赖于 (1) 的结论。
步骤 6/6
目标：证明不等式 (5)
设 $f(x)=e^x-1-(1+x)\ln(1+x)$，$x>0$。求导得 $f'(x)=e^x-1-\ln(1+x)$。利用不等式 $e^x>x+1$ 和 $x>\ln(1+x)$，得 $f'(x)>(x+1)-1-\ln(1+x)=x-\ln(1+x)>0$。故 $f(x)$ 严格递增，$f(x)>f(0)=0$，即 $e^x>1+(1+x)\ln(1+x)$。
公式：$f'(x)=e^x-1-\ln(1+x)$
提示：注意 $f(0)=0$，且 $e^x>x+1$ 和 $x>\ln(1+x)$ 是常用不等式，需确保 $x>0$ 时成立。
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