上册 3.5 不等式证明 第7题
📝 题目
7．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x},(x>1)$ ．
（2）$(a+1)^{\ln b}>(b+1)^{\ln a} \cdot(1
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $f(x)=(1+x) \ln (1+x)-x \ln x,(x>1)$ ，则
$$
f(1)=2 \ln 2>0, f^{\prime}(x)=1+\ln (1+x)-1-\ln x=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)>0
$$
于是 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上严格单调递增，从而 $f(x)>f(1)>0$ ，即 $\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}$ ．
（2）转证 $\displaystyle \frac{\ln (a+1)}{\ln a}>\frac{\ln (b+1)}{\ln b}$ ．设 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln (x+1)}{\ln x}, x \in[a, b]$ ，则由（1）得
$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{(\ln x)^{2}}\left(\frac{\ln x}{x+1}-\frac{\ln (x+1)}{x}\right)=\frac{\ln x}{(\ln x)^{2}} \frac{1}{x}\left(\frac{x}{1+x}-\frac{\ln (1+x)}{\ln x}\right)<0 .
$$
所以 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调递减．当 $1f(b)$ ，即 $\displaystyle \frac{\ln (a+1)}{\ln a}>\frac{\ln (b+1)}{\ln b}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数并求导
为了证明不等式 $\frac{\ln(1+x)}{\ln x} > \frac{x}{1+x}$ 对于 $x>1$ 成立，我们构造辅助函数 $f(x) = (1+x)\ln(1+x) - x\ln x$，其中 $x>1$。然后计算 $f(x)$ 的导数：$f'(x) = \ln(1+x) + 1 - \ln x - 1 = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$。
公式：$f'(x) = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$
提示：注意求导时不要漏掉常数项，$(1+x)\ln(1+x)$ 的导数为 $\ln(1+x)+1$，$x\ln x$ 的导数为 $\ln x+1$。
步骤 2/6
目标：判断导数符号
由于 $x>1$，所以 $1+\frac{1}{x} > 1$，因此 $\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) > 0$，即 $f'(x) > 0$ 对所有 $x>1$ 成立。这表明 $f(x)$ 在区间 $(1, +\infty)$ 上严格单调递增。
提示：注意对数函数的单调性：当自变量大于1时，对数值为正。
步骤 3/6
目标：计算端点函数值并得出结论
计算 $f(1) = (1+1)\ln(1+1) - 1\cdot\ln 1 = 2\ln 2 > 0$。由于 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上严格递增，所以对于任意 $x>1$，有 $f(x) > f(1) > 0$，即 $(1+x)\ln(1+x) > x\ln x$。两边同时除以 $x\ln x$（注意 $x>1$ 时 $\ln x > 0$），得到 $\frac{(1+x)\ln(1+x)}{x\ln x} > 1$，即 $\frac{\ln(1+x)}{\ln x} > \frac{x}{1+x}$。
公式：$\frac{\ln(1+x)}{\ln x} > \frac{x}{1+x}$
提示：注意除以 $x\ln x$ 时，要确保 $x\ln x > 0$，这由 $x>1$ 保证。
步骤 4/6
目标：转化第二个不等式
要证明 $(a+1)^{\ln b} > (b+1)^{\ln a}$，其中 $1 \ln a \cdot \ln(b+1)$，即 $\frac{\ln(a+1)}{\ln a} > \frac{\ln(b+1)}{\ln b}$。因此，只需证明函数 $g(x) = \frac{\ln(x+1)}{\ln x}$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减。
公式：$\frac{\ln(a+1)}{\ln a} > \frac{\ln(b+1)}{\ln b}$
提示：取对数时注意底数大于1，对数函数单调递增，不等号方向不变。
步骤 5/6
目标：求导并利用第一个不等式
对 $g(x) = \frac{\ln(x+1)}{\ln x}$ 求导：$g'(x) = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot \ln x - \ln(x+1) \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{1}{(\ln x)^2} \left( \frac{\ln x}{x+1} - \frac{\ln(x+1)}{x} \right)$。提取公因子 $\frac{\ln x}{x}$，得 $g'(x) = \frac{\ln x}{x(\ln x)^2} \left( \frac{x}{x+1} - \frac{\ln(x+1)}{\ln x} \right)$。由第一问的不等式 $\frac{\ln(1+x)}{\ln x} > \frac{x}{1+x}$，即 $\frac{x}{x+1} - \frac{\ln(x+1)}{\ln x} < 0$。又 $\ln x > 0$，$x>0$，$(\ln x)^2 > 0$，所以 $g'(x) < 0$。
公式：$g'(x) = \frac{\ln x}{x(\ln x)^2} \left( \frac{x}{x+1} - \frac{\ln(x+1)}{\ln x} \right)$
提示：求导时注意商法则，分子部分不要弄错符号。利用第一问的不等式时，注意方向。
步骤 6/6
目标：得出单调性并完成证明
由于 $g'(x) < 0$ 对所有 $x>1$ 成立，所以 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上严格单调递减。因此，当 $1 g(b)$，即 $\frac{\ln(a+1)}{\ln a} > \frac{\ln(b+1)}{\ln b}$。两边乘以 $\ln a \ln b$（正数），得 $\ln b \cdot \ln(a+1) > \ln a \cdot \ln(b+1)$，即 $(a+1)^{\ln b} > (b+1)^{\ln a}$。
提示：注意 $\ln a$ 和 $\ln b$ 均为正数，乘除不等号方向不变。
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