上册 3.5 不等式证明 第9题
📝 题目
9．若 $0\frac{y^{x}}{x^{y}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因 $\displaystyle \frac{y}{x}>\frac{y^{x}}{x^{y}}$ 等价于 $\displaystyle \frac{y-1}{\ln y}>\frac{x-1}{\ln x}$ ．下证 $\displaystyle \frac{y-1}{\ln y}>\frac{x-1}{\ln x}$ 成立．
令 $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{\ln x}$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x \ln x-x+1}{x \ln ^{2} x}$ ．
记 $g(x)=x \ln x-x+1$ ，则 $g^{\prime}(x)=\ln x$ ．
由 $g^{\prime}(x)=0$ 得 $x=1$ 。当 $01$ 时，$g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 严格单调递增．所以 $g(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值，最小值为 $g(1)=0$ ．于是 $\forall x \in(0,1) \cup(1,+\infty)$ 有 $g(x)>0$ 。进一步，$\forall x \in(0,1) \cup(1,+\infty)$ 有 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x \ln x-x+1}{x \ln ^{2} x}>0$ 。从而 $f(x)$ 在 $(0,1) \cup(1,+\infty)$ 上严格单调递增，所以当 $0\frac{x-1}{\ln x}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：等价变形
原不等式 $\frac{y}{x}>\frac{y^{x}}{x^{y}}$ 两边取自然对数，得 $\ln y - \ln x > x \ln y - y \ln x$，整理得 $(y-1)\ln x > (x-1)\ln y$。由于 $\ln x$ 和 $\ln y$ 在 $0 \frac{x-1}{\ln x}$。
公式：\frac{y}{x}>\frac{y^{x}}{x^{y}} \iff \frac{y-1}{\ln y}>\frac{x-1}{\ln x}
提示：注意对数运算时符号的处理，当 $0
步骤 2/6
目标：构造函数
令 $f(t)=\frac{t-1}{\ln t}$，定义域为 $(0,1)\cup(1,+\infty)$。则需证明当 $0f(x)$，即 $f(t)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上单调递增。
公式：f(t)=\frac{t-1}{\ln t}
提示：注意 $t=1$ 处函数无定义，需分开区间讨论。
步骤 3/6
目标：求导
对 $f(t)$ 求导：$f'(t)=\frac{\ln t - (t-1)\cdot\frac{1}{t}}{(\ln t)^2} = \frac{t\ln t - t + 1}{t\ln^2 t}$。
公式：f'(t)=\frac{t\ln t - t + 1}{t\ln^2 t}
提示：求导时注意商法则，分母平方，分子为 $\ln t \cdot 1 - (t-1)\cdot\frac{1}{t}$。
步骤 4/6
目标：分析分子符号
令 $g(t)=t\ln t - t + 1$，则 $g'(t)=\ln t + 1 - 1 = \ln t$。令 $g'(t)=0$ 得 $t=1$。当 $01$ 时，$g'(t)>0$，$g(t)$ 单调递增。因此 $g(t)$ 在 $t=1$ 处取得最小值 $g(1)=1\cdot0-1+1=0$。故对任意 $t\in(0,1)\cup(1,+\infty)$，有 $g(t)>0$。
公式：g(t)=t\ln t - t + 1, \quad g(1)=0, \quad g(t)>0 \text{ for } t\neq1
提示：注意 $g(1)=0$，且 $g(t)$ 在 $t=1$ 处连续，但 $f(t)$ 在 $t=1$ 处无定义。
步骤 5/6
目标：判断导数符号
由于 $g(t)>0$ 且分母 $t\ln^2 t>0$（$t>0$ 且 $t\neq1$），所以 $f'(t)=\frac{g(t)}{t\ln^2 t}>0$ 对所有 $t\in(0,1)\cup(1,+\infty)$ 成立。因此 $f(t)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上分别严格单调递增。
公式：f'(t)>0 \quad \forall t\in(0,1)\cup(1,+\infty)
提示：注意 $\ln^2 t$ 恒正，$t>0$，所以分母正。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $f(t)$ 的单调递增性，当 $0f(x)$；当 $1f(x)$。即 $\frac{y-1}{\ln y}>\frac{x-1}{\ln x}$，等价于原不等式 $\frac{y}{x}>\frac{y^x}{x^y}$ 成立。
提示：注意单调性应用时，自变量大小关系与函数值大小关系一致。
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