上册 3.5 不等式证明 第10题
📝 题目
10．证明不等式 $\mathrm{e}^{y}+x \ln x-x-x y \geqslant 0, x \geqslant 1, y \geqslant 0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
令 $f(t)=\mathrm{e}^{t}+x \ln x-x-x t \geqslant 0, x \geqslant 1, t \geqslant 0$ ，则 $f^{\prime}(t)=\mathrm{e}^{\prime}-x$ 。由 $f^{\prime}(t)=\mathrm{e}^{t}-x=0$ 得 $t=\ln x$ 。
当 $t>\ln x$ 时 $f^{\prime}(t)>0$ ，当 $t<\ln x$ 时 $f^{\prime}(t)<0, f(t)$ 在 $t=\ln x$ 时取最小值， $\min f(t)=f(\ln x)=0$ ．所以 $\mathrm{e}^{\prime}+x \ln x-x-x t \geqslant 0$ 。原不等式成立。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造函数并求导
令 $f(t) = e^t + x \ln x - x - x t$，其中 $x \geq 1$，$t \geq 0$。对 $t$ 求导得 $f'(t) = e^t - x$。
公式：f'(t) = e^t - x
提示：注意将 $x$ 视为常数，对 $t$ 求导。
步骤 2/5
目标：求驻点
令 $f'(t) = 0$，即 $e^t - x = 0$，解得 $t = \ln x$。由于 $x \geq 1$，$\ln x \geq 0$，故驻点在定义域内。
公式：t = \ln x
提示：确保 $\ln x$ 在 $t \geq 0$ 范围内，即 $x \geq 1$。
步骤 3/5
目标：判断单调性
当 $t > \ln x$ 时，$e^t > x$，故 $f'(t) > 0$，函数单调递增；当 $t < \ln x$ 时，$e^t < x$，故 $f'(t) < 0$，函数单调递减。因此 $t = \ln x$ 是极小值点。
提示：注意指数函数 $e^t$ 的单调性。
步骤 4/5
目标：计算最小值
计算 $f(\ln x) = e^{\ln x} + x \ln x - x - x \ln x = x + x \ln x - x - x \ln x = 0$。因此 $f(t)$ 的最小值为 $0$。
公式：f(\ln x) = 0
提示：化简时注意 $e^{\ln x} = x$。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $f(t) \geq f(\ln x) = 0$ 对所有 $t \geq 0$ 成立，即 $e^t + x \ln x - x - x t \geq 0$。令 $t = y$，则原不等式 $e^y + x \ln x - x - x y \geq 0$ 成立。
提示：注意 $y$ 对应 $t$，且 $y \geq 0$。
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