上册 3.5 不等式证明 第11题
📝 题目
11．证明当 $\mathrm{e}b^{a}$ ，并由此比较下列大小。
（1）$(\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}$ 与 $(\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}, n>8$ ．
（2）$\pi^{\mathrm{e}}$ 与 $\mathrm{e}^{\pi}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
要证：$a^{b}>b^{a}$ 成立，只要证 $\displaystyle \frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}$ 成立。证明如下：
设 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}, x>\mathrm{e}$ ，则当 $x>\mathrm{e}$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{1}{x} \cdot x-\ln x\right)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}<0$ ．所以 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调递减．由 $\mathrm{e}f(b)$ ，即 $\displaystyle \frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}$ 成立，故原不等式成立．
（1）当 $n>8$ 时， $\mathrm{e}<\sqrt{n}<\sqrt{n+1}$ ，所以 $(\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}>(\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}$ 。
（2）方法 1：由（1）得 $\pi^{\mathrm{e}}<\mathrm{e}^{\pi}$ 。
方法 2：由 $\pi^{\mathrm{e}}=\mathrm{e}^{\mathrm{eln} \pi}$ ，只要比较 $\pi$ 与 $\mathrm{eln} \pi$ 的大小，即比较 $\pi-\mathrm{eln} \pi$ 与 0 的大小。根据这两个数可构造一个函数 $f(x)=x-\mathrm{e} \ln x$ ，则 $f(\pi)=\pi-\mathrm{e} \ln \pi, f(\mathrm{e})=0$ ．
设 $f(x)=x-\mathrm{e} \ln x, x \in[\mathrm{e}, \pi]$ ，则 $f(x)$ 在 $[\mathrm{e}, \pi]$ 上连续，在 $(\mathrm{e}, \pi)$ 内可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\frac{\mathrm{e}}{x}>0 . f(x)$在 $[\mathrm{e}, \pi]$ 上严格单调递增。于是当 $\mathrm{e}<\pi$ 时，$f(\mathrm{e})\pi^{\mathrm{e}}$ 。
方法 3：$\displaystyle \frac{\ln \pi}{\pi}-\frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}=\int_{\mathrm{e}}^{\pi} \mathrm{d}\left(\frac{\ln x}{x}\right)=\int_{\mathrm{e}}^{\pi} \frac{1-\ln x}{x^{2}} \mathrm{~d} x<0$ ，即 $\displaystyle \frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}>\frac{\ln \pi}{\pi}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将指数不等式转化为对数不等式
要证明 $a^b > b^a$，两边取自然对数，等价于 $b \ln a > a \ln b$，即 $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$。
公式：$a^b > b^a \iff \frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$
提示：注意底数和指数都大于0，取对数时不等号方向不变。
步骤 2/7
目标：构造函数并求导判断单调性
设 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$，$x > \mathrm{e}$。求导得 $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$。当 $x > \mathrm{e}$ 时，$\ln x > 1$，所以 $f'(x) < 0$，因此 $f(x)$ 在 $(\mathrm{e}, +\infty)$ 上严格单调递减。
公式：$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$
提示：注意定义域 $x>0$，且 $\mathrm{e}$ 是临界点。
步骤 3/7
目标：应用单调性证明原不等式
由 $\mathrm{e} < a < b$ 及 $f(x)$ 单调递减得 $f(a) > f(b)$，即 $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$，从而 $a^b > b^a$。
提示：注意单调递减时，自变量越大函数值越小。
步骤 4/7
目标：比较 (1) 中两个数的大小
当 $n > 8$ 时，$\sqrt{n} > \mathrm{e}$（因为 $\sqrt{8} \approx 2.828 < \mathrm{e} \approx 2.718$，但 $n>8$ 时 $\sqrt{n} > \sqrt{9}=3 > \mathrm{e}$），且 $\sqrt{n} < \sqrt{n+1}$。由已证结论，令 $a = \sqrt{n}$，$b = \sqrt{n+1}$，则 $a^b > b^a$，即 $(\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}} > (\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}$。
提示：注意验证 $\sqrt{n} > \mathrm{e}$ 的条件，$n>8$ 时成立。
步骤 5/7
目标：比较 (2) 中两个数的大小
由于 $\mathrm{e} < \pi$，直接应用已证结论，令 $a = \mathrm{e}$，$b = \pi$，则 $\mathrm{e}^\pi > \pi^\mathrm{e}$。
提示：注意 $\mathrm{e} \approx 2.718$，$\pi \approx 3.1416$，满足 $\mathrm{e} < \pi$。
步骤 6/7
目标：提供另一种方法：构造函数法
比较 $\pi^\mathrm{e}$ 与 $\mathrm{e}^\pi$ 等价于比较 $\pi$ 与 $\mathrm{e} \ln \pi$。设 $f(x) = x - \mathrm{e} \ln x$，$x \in [\mathrm{e}, \pi]$。求导得 $f'(x) = 1 - \frac{\mathrm{e}}{x} > 0$（因为 $x > \mathrm{e}$），所以 $f(x)$ 单调递增。由 $f(\mathrm{e}) = 0$ 得 $f(\pi) > 0$，即 $\pi > \mathrm{e} \ln \pi$，从而 $\mathrm{e}^\pi > \pi^\mathrm{e}$。
公式：$f(x) = x - \mathrm{e} \ln x$，$f'(x) = 1 - \frac{\mathrm{e}}{x}$
提示：注意 $f(\mathrm{e}) = 0$ 是构造的关键。
步骤 7/7
目标：提供第三种方法：积分法
考虑 $\frac{\ln \pi}{\pi} - \frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}} = \int_{\mathrm{e}}^{\pi} \mathrm{d}\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \int_{\mathrm{e}}^{\pi} \frac{1-\ln x}{x^2} \mathrm{d}x$。由于在 $(\mathrm{e}, \pi)$ 上 $1-\ln x < 0$，积分值为负，所以 $\frac{\ln \pi}{\pi} < \frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}$，即 $\mathrm{e}^\pi > \pi^\mathrm{e}$。
公式：$\int_{\mathrm{e}}^{\pi} \frac{1-\ln x}{x^2} \mathrm{d}x < 0$
提示：注意被积函数在积分区间内恒负。
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