上册 3.5 不等式证明 第12题
📝 题目
12．确定 $A$ 最小正数，使不等式成立： $\ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \leqslant A\left(x^{2}+y^{2}\right), \forall x>0, y>0$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $\displaystyle f(r)=\frac{\ln r}{r}, r \geqslant 1$ ，则 $\displaystyle f(1)=0, \lim _{r \rightarrow \infty} f(r)=0, f^{\prime}(r)=\frac{1-\ln r}{r^{2}}$ ．由 $f^{\prime}(r)=0$ 得 $r=\mathrm{e}$ ．
当 $10$ 。从而 $f(r)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上严格单调递增．当 $\mathrm{e}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：变量替换简化问题
令 $r = x^2 + y^2$，由于 $x>0, y>0$，有 $r>0$。原不等式化为 $\ln r \leq A r$ 对任意 $r>0$ 成立。
提示：注意 $r$ 的取值范围是 $r>0$，不要遗漏 $0
步骤 2/7
目标：分离参数A
不等式 $\ln r \leq A r$ 等价于 $A \geq \frac{\ln r}{r}$ 对任意 $r>0$ 成立。因此 $A$ 的最小正数就是函数 $f(r)=\frac{\ln r}{r}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值。
公式：$A \geq \sup_{r>0} \frac{\ln r}{r}$
提示：注意 $\ln r$ 在 $r\to 0^+$ 时趋于 $-\infty$，但 $\frac{\ln r}{r}$ 的极限需单独分析。
步骤 3/7
目标：分析函数定义域与极限
考虑 $f(r)=\frac{\ln r}{r}$，定义域 $r>0$。计算极限：$\lim_{r\to 0^+} f(r) = -\infty$，$\lim_{r\to +\infty} f(r) = 0$，且 $f(1)=0$。因此最大值在内部取得。
公式：$\lim_{r\to 0^+} \frac{\ln r}{r} = -\infty$, $\lim_{r\to +\infty} \frac{\ln r}{r} = 0$
提示：注意 $r\to 0^+$ 时 $\ln r \to -\infty$，但分母 $r\to 0^+$，所以整体趋于 $-\infty$。
步骤 4/7
目标：求导数找极值点
求导：$f'(r) = \frac{1 \cdot r - \ln r \cdot 1}{r^2} = \frac{1 - \ln r}{r^2}$。令 $f'(r)=0$ 得 $1-\ln r=0$，即 $r=\mathrm{e}$。
公式：$f'(r) = \frac{1-\ln r}{r^2}$
提示：求导时注意商法则，不要忘记分母平方。
步骤 5/7
目标：判断极值类型
当 $00$，函数单调递增；当 $r>\mathrm{e}$ 时，$\ln r > 1$，故 $f'(r)<0$，函数单调递减。因此 $r=\mathrm{e}$ 是全局最大值点。
提示：注意 $r$ 从 $0$ 到 $\mathrm{e}$ 递增，$\mathrm{e}$ 到无穷递减，确保是最大值。
步骤 6/7
目标：计算最大值
最大值 $f(\mathrm{e}) = \frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}} = \frac{1}{\mathrm{e}}$。因此对任意 $r>0$，有 $\frac{\ln r}{r} \leq \frac{1}{\mathrm{e}}$，即 $\ln r \leq \frac{1}{\mathrm{e}} r$。
公式：$f(\mathrm{e}) = \frac{1}{\mathrm{e}}$
提示：注意 $\ln \mathrm{e}=1$。
步骤 7/7
目标：得出最小正数A
由 $A \geq \frac{1}{\mathrm{e}}$，且 $A$ 为正数，故最小正数 $A = \frac{1}{\mathrm{e}}$。
提示：确认 $A$ 是正数，且 $\frac{1}{\mathrm{e}}$ 确实使不等式成立。
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