上册 3.5 不等式证明 第14题
📝 题目
14．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{a-b}{a}<\ln \frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}, 0\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a), \mathrm{e}
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $f(x)=\ln x$ 。在区间 $[b, a]$ 上，由 Lagrange 中值定理，
$$
\frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{1}{\xi} \text {, 其中 } b<\xi\frac{\ln \mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2}}=\frac{2}{\mathrm{e}^{2}} .
$$
综上得 $\displaystyle \ln ^{2} b-\ln ^{2} a>\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用拉格朗日中值定理于对数函数
令 $f(x)=\ln x$，在区间 $[b, a]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (b, a)$ 使得 $\frac{\ln a - \ln b}{a-b} = f'(\xi) = \frac{1}{\xi}$，即 $\frac{\ln \frac{a}{b}}{a-b} = \frac{1}{\xi}$。
公式：拉格朗日中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$
提示：注意区间端点的顺序，$b0$，不等式方向不变。
步骤 2/8
目标：利用ξ的范围推导不等式
由 $b<\xi
提示：注意不等式方向：分母越大，分数越小。
步骤 3/8
目标：整理得到第一个不等式
将不等式乘以正数 $a-b$ 得 $\frac{a-b}{a}<\ln \frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}$。
提示：乘以正数不改变不等式方向。
步骤 4/8
目标：应用拉格朗日中值定理于反正切函数
令 $f(x)=\arctan x$，在区间 $[a, b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $\arctan b - \arctan a = f'(\xi)(b-a) = \frac{b-a}{\xi^2+1}$。
公式：拉格朗日中值定理
提示：注意 $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$。
步骤 5/8
目标：利用ξ的范围推导第二个不等式
由 $a<\xi0$ 得 $\frac{b-a}{b^2+1}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{a^2+1}$。
提示：注意 $a>0$，所以 $a^2$ 单调递增。
步骤 6/8
目标：应用拉格朗日中值定理于平方对数函数
令 $f(x)=(\ln x)^2$，在区间 $[a, b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $\frac{\ln^2 b - \ln^2 a}{b-a} = f'(\xi) = \frac{2\ln \xi}{\xi}$。
公式：拉格朗日中值定理
提示：注意 $f'(x)=2\ln x \cdot \frac{1}{x}$。
步骤 7/8
目标：分析函数g(x)=ln x/x的单调性
令 $g(x)=\frac{\ln x}{x}$，则 $g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$。由于 $\xi \in (a,b) \subset (e, e^2)$，有 $\ln \xi > 1$，所以 $g'(x)<0$，$g(x)$ 在 $(e, e^2)$ 上单调递减。因此 $g(\xi) > g(e^2) = \frac{\ln e^2}{e^2} = \frac{2}{e^2}$。
公式：导数判断单调性：$g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$
提示：注意区间 $e 1$。
步骤 8/8
目标：推导第三个不等式
由 $\frac{\ln^2 b - \ln^2 a}{b-a} = \frac{2\ln \xi}{\xi} = 2g(\xi) > 2 \cdot \frac{2}{e^2} = \frac{4}{e^2}$，乘以 $b-a>0$ 得 $\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a)$。
提示：注意不等式方向：乘以正数不变号。
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