上册 3.5 不等式证明 第15题

要证 $|e^t - 1 - t| \le t^2$ 对 $|t| \le 1$ 成立，等价于证 $1+t-t^2 \le e^t \le 1+t+t^2$。先证左边：令 $g(t)=e^t - (1+t-t^2)$，则 $g(0)=0$，$g'(t)=e^t -1+2t$，$g''(t)=e^t+2>0$，故 $g'(t)$ 在 $(-1,1)$ 上严格递增。由于 $g'(-1)=e^{-1}-3<0$，$g'(1)=e+1>0$，存在唯一 $\xi$ 使 $g'(\xi)=0$，且 $g(t)$ 在 $(-1,\xi)$ 递减，在 $(\xi,1)$ 递增。又 $g(0)=0$，$g(1)=e-2>0$，$g(-1)=e^{-1}-1>0$，故 $g(t)\ge 0$，即 $e^t \ge 1+t-t^2$。

再证右边：令 $f(t)=\ln(1+t+t^2)-t$，则 $f(0)=0$，$f'(t)=\frac{1+2t}{1+t+t^2}-1=\frac{t(1-t)}{1+t+t^2}$。当 $-10$，故 $f(t)$ 在 $t=0$ 处取最小值 $f(0)=0$，所以 $f(t)\ge 0$，即 $\ln(1+t+t^2)\ge t$，从而 $1+t+t^2 \ge e^t$。综上，$|e^t-1-t|\le t^2$。

令 $f(x)=2^x - x^2 -1$，$x\in[0,1]$。则 $f(0)=0$，$f(1)=0$。求导：$f'(x)=2^x\ln 2 - 2x$，$f''(x)=2^x\ln^2 2 - 2$。由于 $\ln^2 2 < 1$，$2^x\le 2$，故 $f''(x)<0$，$f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格递减。又 $f'(0)=\ln 2>0$，$f'(1)=2\ln 2-2<0$，由介值定理存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f'(\xi)=0$。于是 $f(x)$ 在 $[0,\xi]$ 递增，在 $[\xi,1]$ 递减，最小值在端点取得，而 $f(0)=f(1)=0$，故 $f(x)\ge 0$，即 $2^x \ge 1+x^2$。

令 $f(x)=e^x -1 - (1+x)\ln(1+x)$，$x>0$。则 $f(0)=0$。求导：$f'(x)=e^x - \ln(1+x) -1$，$f''(x)=e^x - \frac{1}{1+x}$。当 $x>0$ 时，$e^x >1$，$\frac{1}{1+x}<1$，故 $f''(x)>0$，$f'(x)$ 严格递增。又 $f'(0)=0$，所以 $f'(x)>0$ 对 $x>0$ 成立。从而 $f(x)$ 严格递增，$f(x)>f(0)=0$，即 $e^x-1 > (1+x)\ln(1+x)$。

令 $f(x)=e^x - (x^2 -2px +1)$，$x>0$。则 $f(0)=0$。求导：$f'(x)=e^x -2x +2p$，$f''(x)=e^x -2$。令 $f''(x)=0$ 得 $x=\ln 2$。当 $0\ln 2$ 时 $f''(x)>0$，$f'(x)$ 递增。故 $x=\ln 2$ 是 $f'(x)$ 的最小值点。计算 $f'(\ln 2)=2 - 2\ln 2 + 2p$。由条件 $p>\ln 2 -1$ 得 $f'(\ln 2)>0$，从而 $f'(x)>0$ 对所有 $x>0$ 成立。因此 $f(x)$ 严格递增，$f(x)>f(0)=0$，即 $e^x > x^2 -2px +1$。

要证 $p e^{-x} + x^2 - x > 1$ 对 $x>0$ 成立，等价于 $p e^{-x} > 1 + x - x^2$。令 $f(x)=e^x(1+x-x^2)$，则原不等式化为 $p > f(x)$ 对 $x>0$ 成立。求 $f(x)$ 的最大值：$f'(x)=e^x[(1+x-x^2)+(1-2x)] = -e^x(x^2+x-2) = -e^x(x+2)(x-1)$。令 $f'(x)=0$ 得 $x=1$（$x=-2$ 舍去）。当 $00$，$f(x)$ 递增；当 $x>1$ 时 $f'(x)<0$，$f(x)$ 递减。故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取最大值 $f(1)=e$。因此 $f(x) \le e$，即 $e^x(1+x-x^2) \le e$，从而 $1+x-x^2 \le e e^{-x}$。由 $p>e$ 得 $p e^{-x} > e e^{-x} \ge 1+x-x^2$，故 $p e^{-x} + x^2 - x > 1$。