上册 3.5 不等式证明 第16题
📝 题目
16．已知不等式 $A \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x \geqslant 1$ 对一切 $x \in(1,+\infty)$ 成立，求常数 $A$ 的取值范围．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $A \geqslant \mathrm{e}^{x}\left(1+x-x^{2}\right)$ 对一切 $x \in(1,+\infty)$ 成立，转求 $f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(1+x-x^{2}\right)$ 在 $(1,+\infty)$ 的最大值．
设 $f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(1+x-x^{2}\right)$ ，则
$$
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\mathrm{e}, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{x}\left(1+x-x^{2}\right)=-\infty,
$$
且
$$
f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\left[\left(1+x-x^{2}+1-2 x\right]=-\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+x-2\right)=-\mathrm{e}^{x}(x+2)(x-1)<0 .\right.
$$
$f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(1+x-x^{2}\right)$ 在 $(1,+\infty)$ 单调减少，因此 $\sup _{(1,+\infty)} f(x) \leqslant \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\mathrm{e}$ ，因此 $A>\mathrm{e}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：转化不等式
原不等式为 $A e^{-x} + x^2 - x \geq 1$ 对一切 $x \in (1, +\infty)$ 成立。移项得 $A e^{-x} \geq 1 - x^2 + x$，两边乘以 $e^x$（正数）得 $A \geq e^x (1 + x - x^2)$。因此问题转化为求 $f(x) = e^x (1 + x - x^2)$ 在 $(1, +\infty)$ 上的最大值，并令 $A$ 不小于该最大值。
公式：A \geq e^x (1 + x - x^2)
提示：注意乘以 $e^x$ 时不等号方向不变，因为 $e^x > 0$。
步骤 2/5
目标：分析函数端点行为
考虑 $f(x) = e^x (1 + x - x^2)$ 在区间端点处的极限。当 $x \to 1^+$ 时，$f(x) \to e^1 (1 + 1 - 1) = e$。当 $x \to +\infty$ 时，由于 $1 + x - x^2 \sim -x^2$，指数增长快于多项式，故 $f(x) \to -\infty$。
公式：\lim_{x \to 1^+} f(x) = e, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty
提示：注意 $x \to 1^+$ 时直接代入，$x \to +\infty$ 时需判断主导项。
步骤 3/5
目标：求导数判断单调性
计算 $f'(x)$：$f'(x) = e^x (1 + x - x^2) + e^x (1 - 2x) = e^x (2 - x - x^2) = -e^x (x^2 + x - 2) = -e^x (x+2)(x-1)$。由于 $x > 1$，有 $e^x > 0$，$(x+2) > 0$，$(x-1) > 0$，故 $f'(x) < 0$。因此 $f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上严格单调递减。
公式：f'(x) = -e^x (x+2)(x-1)
提示：求导时注意使用乘积法则，并正确因式分解。
步骤 4/5
目标：确定最大值
由于 $f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上严格单调递减，且左端点极限为 $e$，右端点极限为 $-\infty$，因此 $f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上无最大值，但上确界为 $\lim_{x \to 1^+} f(x) = e$。注意 $x=1$ 不在定义域内，所以 $f(x)$ 恒小于 $e$。
公式：\sup_{x \in (1, +\infty)} f(x) = e
提示：区分最大值与上确界：由于区间开，最大值可能不存在。
步骤 5/5
目标：得出A的取值范围
原不等式要求 $A \geq f(x)$ 对所有 $x>1$ 成立，即 $A$ 不小于 $f(x)$ 的上确界。由于上确界为 $e$，且 $f(x)$ 始终小于 $e$，故 $A \geq e$ 即可。但需注意 $A$ 可以等于 $e$ 吗？当 $A=e$ 时，不等式变为 $e e^{-x} + x^2 - x \geq 1$，即 $e^{1-x} + x^2 - x \geq 1$。在 $x=1$ 处等号成立，但 $x>1$ 时，由于 $f(x) 1 + x - x^2$？实际上需验证：$A=e$ 时，不等式等价于 $e^{1-x} \geq 1 + x - x^2$，即 $e^{1-x} - (1+x-x^2) \geq 0$。令 $g(x)=e^{1-x} - (1+x-x^2)$，$g(1)=0$，$g'(x)=-e^{1-x} -1+2x$，在 $x>1$ 时 $g'(x)>0$？需进一步分析。但根据单调性，$f(x)
公式：A \geq e
提示：注意检查边界 $A=e$ 是否成立，可通过构造辅助函数或利用单调性判断。
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