上册 3.5 不等式证明 第17题
📝 题目
17．证明下列不等式．
（1）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。证明：$\displaystyle x^{\frac{1}{p}} \leqslant \frac{1}{p} x+\frac{1}{q},(\forall x>0)$ ，并证明当且仅当 $x=1$ 时等式成立．
（2）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，证明：对 $\displaystyle \forall x>0, \frac{1}{p} x^{p}+\frac{1}{q} \geqslant x$ 。
（3）证明：对 $\forall x>0,0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $\displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{p}}-\frac{1}{p} x-\frac{1}{q}$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{p} x^{\frac{1}{p}-1}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p}\left(x^{-\frac{1}{q}}-1\right)$ ．
当 $x>1$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减；当 $x<1$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增．故 $f(x)0)$ ，且当且仅当 $x=1$ 时等式成立。
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{p} x^{p}+\frac{1}{q}-x$ ，则 $\displaystyle f(1)=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-1=0, f^{\prime}(x)=x^{p-1}-1$ ．
令 $f^{\prime}(x)=x^{p-1}-1=0$ 得 $x=1$ ．
由 $f^{\prime \prime}(x)=(p-1) x^{p-2}, f^{\prime \prime}(1)=p-1>0$ 知，$f(1)$ 是唯一的极值且是唯一的极小值。故 $f(1)$ 为最小值。所以 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f(x) \geqslant f(1)$ ，即 $\displaystyle \frac{1}{p} x^{p}+\frac{1}{q}-x \geqslant 0$ ．
（3）令 $f(x)=x^{p}-p x, x>0$ ，则 $f^{\prime}(x)=p x^{p-1}-p$ 。
令 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x=1$ 。
由 $f^{\prime \prime}(x)=p(p-1) x^{p-2}, f^{\prime \prime}(1)=p(p-1)>0$ 知，$f(1)$ 是唯一的极值且是唯一的极小值。故 $f(1)$为最小值。所以当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f(x) \geqslant f(1)$ ，即 $x^{p}-p x \leqslant 1-p, \forall x>0,0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造函数并求导
令 $f(x)=x^{\frac{1}{p}}-\frac{1}{p}x-\frac{1}{q}$，则 $f'(x)=\frac{1}{p}x^{\frac{1}{p}-1}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p}\left(x^{-\frac{1}{q}}-1\right)$。
公式：$f'(x)=\frac{1}{p}\left(x^{-\frac{1}{q}}-1\right)$
提示：注意 $\frac{1}{p}-1 = -\frac{1}{q}$，利用 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。
步骤 2/6
目标：分析单调性并求最值
当 $x>1$ 时，$x^{-\frac{1}{q}}<1$，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $01$，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。故 $x=1$ 是极大值点，且 $f(1)=1-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}=0$。因此 $f(x)\le 0$，即 $x^{\frac{1}{p}}\le \frac{1}{p}x+\frac{1}{q}$，等号当且仅当 $x=1$ 时成立。
提示：注意 $f(1)=0$，且单调性分析要正确。
步骤 3/6
目标：构造函数并求导
令 $f(x)=\frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}-x$，则 $f(1)=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-1=0$，$f'(x)=x^{p-1}-1$。
公式：$f'(x)=x^{p-1}-1$
提示：注意 $p>1$，所以 $p-1>0$。
步骤 4/6
目标：求驻点并判断极值
令 $f'(x)=0$ 得 $x=1$。计算二阶导数 $f''(x)=(p-1)x^{p-2}$，$f''(1)=p-1>0$，故 $x=1$ 是极小值点，也是最小值点。因此 $f(x)\ge f(1)=0$，即 $\frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}\ge x$。
公式：$f''(x)=(p-1)x^{p-2}$
提示：注意 $f''(1)>0$ 表明是极小值。
步骤 5/6
目标：构造函数并求导
令 $f(x)=x^p-px$，$x>0$，$0
公式：$f'(x)=p(x^{p-1}-1)$
提示：注意 $p-1<0$，但导数形式仍为 $px^{p-1}-p$。
步骤 6/6
目标：求驻点并判断极值
令 $f'(x)=0$ 得 $x=1$。计算二阶导数 $f''(x)=p(p-1)x^{p-2}$，由于 $0
公式：$f''(x)=p(p-1)x^{p-2}$
提示：注意 $p(p-1)<0$，所以是极大值。
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