上册 3.5 不等式证明 第18题
📝 题目
18．证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}} \leqslant x^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1, p \geqslant 1$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $f(x)=x^{p}+(1-x)^{p}$ ．因 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，故必有最大值与最小值．
$$
f^{\prime}(x)=p x^{p-1}-p(1-x)^{p-1}=p\left[x^{p-1}-(1-x)^{p-1}\right] .
$$
令 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ ．比 较 $\displaystyle f(0)=1, f(1)=1, f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{2^{p}}=\frac{1}{2^{p-1}}<1$ 知， $\displaystyle \min _{[0,1]} f(x)=\frac{1}{2^{p-1}}$ ， $\max _{[0,1]} f(x)=1$ ．故对一切 $x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}} \leqslant x^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造函数并分析连续性
设 $f(x)=x^{p}+(1-x)^{p}$，其中 $x \in [0,1]$，$p \geq 1$。由于幂函数 $x^p$ 和 $(1-x)^p$ 在 $[0,1]$ 上连续，故 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，从而在闭区间上必有最大值和最小值。
提示：注意 $p \geq 1$ 保证函数可导，但连续性只需幂函数性质。
步骤 2/5
目标：求导数并找出临界点
对 $f(x)$ 求导：$f'(x)=p x^{p-1} - p (1-x)^{p-1} = p\left[x^{p-1} - (1-x)^{p-1}\right]$。令 $f'(x)=0$，得 $x^{p-1} = (1-x)^{p-1}$。由于 $p-1 \geq 0$，幂函数单调，故 $x = 1-x$，解得 $x = \frac{1}{2}$。
公式：$f'(x)=p\left[x^{p-1} - (1-x)^{p-1}\right]$
提示：注意 $p=1$ 时导数恒为0，但此时函数为常数，不影响结论。
步骤 3/5
目标：计算端点及临界点的函数值
计算 $f(0)=0^p + 1^p = 1$，$f(1)=1^p + 0^p = 1$，$f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^p + \left(\frac{1}{2}\right)^p = \frac{2}{2^p} = \frac{1}{2^{p-1}}$。由于 $p \geq 1$，$\frac{1}{2^{p-1}} \leq 1$，且等号仅当 $p=1$ 时成立。
公式：$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2^{p-1}}$
提示：注意 $p=1$ 时 $f(x)=x+(1-x)=1$，不等式取等号。
步骤 4/5
目标：比较函数值确定最值
比较 $f(0)=1$，$f(1)=1$，$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2^{p-1}}$。由于 $\frac{1}{2^{p-1}} \leq 1$，且 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，故最小值 $\min f(x) = \frac{1}{2^{p-1}}$，最大值 $\max f(x) = 1$。
提示：注意 $f(x)$ 在端点取最大值，在内部取最小值，但需确认无其他极值点。
步骤 5/5
目标：得出不等式结论
由最值性质，对一切 $x \in [0,1]$，有 $\frac{1}{2^{p-1}} \leq f(x) \leq 1$，即 $\frac{1}{2^{p-1}} \leq x^p + (1-x)^p \leq 1$。
公式：$\frac{1}{2^{p-1}} \leq x^p + (1-x)^p \leq 1$
提示：注意 $p \geq 1$ 时 $\frac{1}{2^{p-1}} \leq 1$，不等式方向正确。
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