上册 3.5 不等式证明 第19题
📝 题目
19．证明下列不等式：
（1）证明：（1）$\displaystyle x^{n}(1-x)<\frac{1}{n \mathrm{e}},\left(01,(x, y>0)$ 。
（2）证明：$\displaystyle y x^{y}(1-x)<\frac{1}{\mathrm{e}},(0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）先证：$\displaystyle x^{n}(1-x)<\frac{1}{n \mathrm{e}},\left(01,(x, y>0)$ ．
因为 $x \geqslant 1$ 或 $y \geqslant 1$ 时，不等式显然成立，所以只需讨论 $0t$ ，所以 $x^{y}+y^{x} \geqslant A^{t}+t A$ ．
记 $g(t)=A^{t}+t A$ ，则
$$
g^{\prime}(t)=A^{t} \ln A+A, g^{\prime \prime}(t)=A^{t}(\ln A)^{2}>0, g^{\prime}(0)=\ln A+A=-\frac{1}{\mathrm{e}}+\mathrm{e}^{-\frac{1}{\mathrm{e}}}>0, g(0)=1
$$
因此 $g^{\prime}(t)=A^{t} \ln A+A>0$ ，从而 $g(t)$ 在 $(0,1]$ 上单调递增．进一步得 $g(t)>g(0)=1$ ，即 $x^{y}+y^{x}>1$ ．
（2）取定 $00$ ，当 $\displaystyle y>-\frac{1}{\ln x}$ 时，$f^{\prime}(y)<0$ ．所以 $f(y)$ 在 $\displaystyle y=-\frac{1}{\ln x}$ 取最大值 max $\displaystyle f(y)=-\frac{1}{\ln x} \mathrm{e}^{-1}(1-x)$ ．
又对任意的 $\displaystyle x \in(0,1),-\frac{1}{\ln x}(1-x) \leqslant 1$ ．所以 $\displaystyle y x^{y}(1-x)<\frac{1}{\mathrm{e}},(0
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明不等式(1)的第一部分：求函数最大值
设 $f(x)=x^n(1-x)$，其中 $00$ 当 $x<\frac{n}{n+1}$，$f'(x)<0$ 当 $x>\frac{n}{n+1}$，故 $f(x)$ 在 $x=\frac{n}{n+1}$ 处取得最大值。
公式：$f'(x)=n x^{n-1}-(n+1)x^n$
提示：注意求导时不要漏掉系数；判断极值点需检查导数符号变化。
步骤 2/7
目标：计算最大值并放缩到所需形式
计算最大值：$f\left(\frac{n}{n+1}\right)=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\left(1-\frac{n}{n+1}\right)=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}$。利用不等式 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} > n e$（因为 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e$，所以 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right) < e \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)$，但此处需要反向放缩，实际上 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} > n e$ 不成立，正确放缩应为：$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} > e$，从而 $\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}} < \frac{1}{e}$，但还需要乘以 $\frac{n+1}{n}$？原答案有误，正确推导：$f\left(\frac{n}{n+1}\right)=\frac{1}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} = \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}} < \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{e} = \frac{1}{ne}$，因为 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} > e$。
公式：$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} > e$
提示：注意放缩方向，需证明 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} > e$，可利用单调性。
步骤 3/7
目标：证明不等式(1)的第二部分：简化讨论范围
要证 $x^y + y^x > 1$ 对任意 $x,y>0$ 成立。若 $x\ge 1$ 或 $y\ge 1$，则 $x^y \ge 1$ 或 $y^x \ge 1$，不等式显然成立。故只需考虑 $0
提示：注意指数函数在底数大于1时的单调性。
步骤 4/7
目标：利用对称性设参数并放缩
由对称性，不妨设 $y = t x$，其中 $0 t$（因为 $0 t$），故 $x^y + y^x \ge A^t + t A$。
公式：$x^x$ 的最小值为 $e^{-1/e}$
提示：注意 $t^x > t$ 成立的条件：$0
步骤 5/7
目标：构造函数并证明其最小值大于1
定义 $g(t)=A^t + t A$，$t\in(0,1]$。求导得 $g'(t)=A^t \ln A + A$，$g''(t)=A^t (\ln A)^2 > 0$，故 $g'(t)$ 单调递增。计算 $g'(0)=\ln A + A = -\frac{1}{e} + e^{-1/e} > 0$（因为 $e^{-1/e} > 1/e$），所以 $g'(t) > 0$ 对 $t>0$ 成立，从而 $g(t)$ 在 $(0,1]$ 上单调递增。于是 $g(t) > g(0) = 1$（注意 $g(0)$ 定义为极限值 $\lim_{t\to 0^+} g(t)=1$），因此 $x^y+y^x > 1$。
公式：$g'(t)=A^t \ln A + A$
提示：注意 $\ln A = -1/e$，需验证 $g'(0)>0$；$g(0)$ 需取极限。
步骤 6/7
目标：证明不等式(2)：求函数最大值
固定 $00$。求导：$f'(y)=(1-x)(x^y + y x^y \ln x) = (1-x)x^y (1+y\ln x)$。令 $f'(y)=0$，得 $y = -\frac{1}{\ln x}$。由于 $\ln x < 0$，$y>0$。当 $y < -\frac{1}{\ln x}$ 时，$1+y\ln x > 0$，$f'(y)>0$；当 $y > -\frac{1}{\ln x}$ 时，$f'(y)<0$。故 $f(y)$ 在 $y=-\frac{1}{\ln x}$ 处取得最大值。
公式：$f'(y)=(1-x)x^y(1+y\ln x)$
提示：注意 $\ln x$ 为负，解方程时需小心。
步骤 7/7
目标：计算最大值并利用已知不等式
最大值 $f_{\max} = f\left(-\frac{1}{\ln x}\right) = -\frac{1}{\ln x} \cdot x^{-1/\ln x} \cdot (1-x) = -\frac{1}{\ln x} e^{-1} (1-x)$，因为 $x^{-1/\ln x} = e^{-1}$。需证 $f_{\max} < \frac{1}{e}$，即证 $-\frac{1}{\ln x}(1-x) < 1$。令 $h(x) = -\frac{1}{\ln x}(1-x)$，$0 1-t$）。因此 $f(y) < \frac{1}{e}$。
公式：$x^{-1/\ln x}=e^{-1}$
提示：注意 $x^{-1/\ln x}$ 的化简；证明 $h(x)<1$ 时可用换元或导数。
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