上册 3.5 不等式证明 第20题
📝 题目
20．设 $0x \sin x+2 \cos x+\pi x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $f(x)=x \sin x+2 \cos x+\pi x,(0f^{\prime}(\pi)=0$ 。进一步得 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上严格单调递增。故当 $0x \sin x+2 \cos x+\pi x$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造函数
考虑函数 $f(x)=x\sin x+2\cos x+\pi x$，定义域为 $(0,\pi)$。原不等式等价于证明 $f(y)>f(x)$ 当 $0
提示：注意定义域为开区间 $(0,\pi)$，端点处函数值可能不同。
步骤 2/7
目标：求一阶导数
对 $f(x)$ 求导：$f'(x)=\sin x + x\cos x - 2\sin x + \pi = x\cos x - \sin x + \pi$。
公式：$(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$，$(2\cos x)' = -2\sin x$，$(\pi x)' = \pi$
提示：注意 $\cos x$ 的导数是 $-\sin x$，不要漏掉负号。
步骤 3/7
目标：求二阶导数
对 $f'(x)$ 求导：$f''(x) = \cos x - x\sin x - \cos x = -x\sin x$。
公式：$(x\cos x)' = \cos x - x\sin x$，$(-\sin x)' = -\cos x$，$\pi$ 的导数为0
提示：合并同类项时注意符号。
步骤 4/7
目标：判断二阶导数符号
在 $(0,\pi)$ 上，$x>0$，$\sin x>0$，所以 $f''(x) = -x\sin x < 0$。因此 $f'(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上严格单调递减。
提示：注意 $\sin x$ 在 $(0,\pi)$ 上为正，但端点处为0。
步骤 5/7
目标：计算端点导数
计算 $f'(\pi) = \pi\cos\pi - \sin\pi + \pi = \pi\cdot(-1) - 0 + \pi = 0$。由于 $f'(x)$ 单调递减，且 $f'(\pi)=0$，所以对于 $x\in(0,\pi)$，有 $f'(x) > f'(\pi) = 0$。
提示：单调递减意味着越大的自变量函数值越小，所以 $x<\pi$ 时 $f'(x)>f'(\pi)$。
步骤 6/7
目标：判断原函数单调性
由 $f'(x)>0$ 在 $(0,\pi)$ 上成立，可知 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上严格单调递增。
提示：一阶导数大于0是函数单调递增的充分条件。
步骤 7/7
目标：应用单调性证明不等式
因为 $0 f(x)$，即 $y\sin y+2\cos y+\pi y > x\sin x+2\cos x+\pi x$。
提示：注意严格单调递增意味着自变量大则函数值大。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。