上册 3.5 不等式证明 第21题
📝 题目
21．设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上二次可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ．证明：对任意两点 $x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ 及任意正数 $\lambda_{1}, \lambda_{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}=1\right)$ 有不等式 $f\left(\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}\right)<\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)$ ，并说明其几何意义。重庆大学 2001，东北师大 2000 ，北京工大 2010 ，天津大学，映西师大，西安电子科技 2002，合肥工大，广西大学，东南大学；$\lambda_{1}=\lambda_{2}=2^{-1}$ ：山东大学 2002，重庆大学 2005，昆明理工 2007／2012）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
令 $x_{0}=\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}$ 。将 $f\left(x_{1}\right)$ 与 $f\left(x_{2}\right)$ 在 $x_{0}$ 点泰勒展开得
$$
f\left(x_{i}\right)=f\left(x_{0}\right)+\left(x_{i}-x_{0}\right) f^{\prime}\left(x_{0}\right)+\frac{1}{2}\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_{i}\right)>f\left(x_{0}\right)+\left(x_{i}-x_{0}\right) f^{\prime}\left(x_{0}\right), i=1,2
$$
于是对任给的 $\lambda_{1}+\lambda_{2}=1, \lambda_{1}, \lambda_{2}>0$ 有：
$$
\begin{aligned}
\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right) & >\lambda_{1}\left(f\left(x_{0}\right)+\left(x_{1}-x_{0}\right) f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right)+\lambda_{2}\left(f\left(x_{0}\right)+\left(x_{2}-x_{0}\right) f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right) \\
& =\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) f\left(x_{0}\right)+\left[\left(\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}\right)-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) x_{0}\right] f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)=f\left(\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}\right) .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定中点并准备泰勒展开
设 $x_0 = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2$，其中 $\lambda_1 + \lambda_2 = 1$，$\lambda_1, \lambda_2 > 0$。由于 $f$ 在 $(a,b)$ 上二次可导，将 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 在 $x_0$ 处泰勒展开到一阶余项（拉格朗日余项）：
$$f(x_i) = f(x_0) + f'(x_0)(x_i - x_0) + \frac{1}{2} f''(\xi_i)(x_i - x_0)^2, \quad i=1,2$$
其中 $\xi_i$ 介于 $x_i$ 与 $x_0$ 之间。
公式：$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2} f''(\xi)(x - x_0)^2$$
提示：注意泰勒展开的余项形式，这里使用拉格朗日余项，需要保证二阶导数存在。
步骤 2/5
目标：利用二阶导数为正得到不等式
由条件 $f''(x) > 0$ 知 $f''(\xi_i) > 0$，且 $(x_i - x_0)^2 \geq 0$，因此
$$\frac{1}{2} f''(\xi_i)(x_i - x_0)^2 > 0 \quad (\text{当 } x_i \neq x_0 \text{ 时})$$
若 $x_1 = x_2$，则不等式取等号，但题目中 $x_1, x_2$ 为任意两点，通常考虑 $x_1 \neq x_2$ 的情形。于是有
$$f(x_i) > f(x_0) + f'(x_0)(x_i - x_0), \quad i=1,2$$
提示：注意严格不等式成立的条件：$x_i \neq x_0$ 时严格大于；若 $x_1 = x_2$，则 $x_0 = x_1 = x_2$，不等式变为等式。
步骤 3/5
目标：构造加权和并代入不等式
对上述两个不等式分别乘以 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 并相加，得到
$$\lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) > \lambda_1 [f(x_0) + f'(x_0)(x_1 - x_0)] + \lambda_2 [f(x_0) + f'(x_0)(x_2 - x_0)]$$
提示：注意 $\lambda_1, \lambda_2 > 0$，所以不等号方向不变。
步骤 4/5
目标：化简右边表达式
将右边合并：
$$\begin{aligned}
\text{右边} &= (\lambda_1 + \lambda_2) f(x_0) + f'(x_0)[\lambda_1 (x_1 - x_0) + \lambda_2 (x_2 - x_0)] \\
&= f(x_0) + f'(x_0)[(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) - (\lambda_1 + \lambda_2) x_0] \\
&= f(x_0) + f'(x_0)(x_0 - x_0) = f(x_0)
\end{aligned}$$
因此
$$\lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) > f(x_0) = f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2)$$
提示：注意 $\lambda_1 + \lambda_2 = 1$ 和 $x_0$ 的定义，确保化简正确。
步骤 5/5
目标：说明几何意义
几何意义：对于下凸函数（二阶导数大于零），函数图像位于任意弦的下方。具体地，连接点 $(x_1, f(x_1))$ 和 $(x_2, f(x_2))$ 的线段上的点（对应于 $\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2$）的函数值小于该线段上对应点的纵坐标（即 $\lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)$）。
提示：注意凸函数的定义：$f''(x) > 0$ 是严格凸的充分条件。
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