上册 3.5 不等式证明 第23题
📝 题目
23．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, n \geqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{a+b}{2}} \leqslant \frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2}, \forall a, b \in \mathbf{R}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $f(x)=x^{n}$ ，则 $f^{\prime}(x)=n x^{n-1}, f^{\prime \prime}(x)=n(n-1) x^{n-2} \geqslant 0$ ．由 22 题得不等式成立．
（2）设 $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}, f^{\prime \prime}(x)=\mathrm{e}^{x} \geqslant 0$ 。故 $f(x)$ 向下凸函数。由 22 题得不等式成立。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析不等式（1）的结构
不等式（1）为 $\frac{x^n + y^n}{2} \geq \left(\frac{x+y}{2}\right)^n$，其中 $x \geq 0, y \geq 0, n \geq 1$。观察到左边是 $x^n$ 和 $y^n$ 的算术平均，右边是 $x$ 和 $y$ 的算术平均的 $n$ 次幂。这提示我们可能利用函数的凸性。
提示：注意 $n \geq 1$ 的条件，当 $n=1$ 时不等式取等号。
步骤 2/7
目标：构造函数并验证凸性
令 $f(t) = t^n$，定义域为 $[0, +\infty)$。计算一阶导数：$f'(t) = n t^{n-1}$，二阶导数：$f''(t) = n(n-1) t^{n-2}$。由于 $n \geq 1$，$t \geq 0$，有 $f''(t) \geq 0$，因此 $f(t)$ 是下凸函数（凸函数）。
公式：$f''(t) = n(n-1) t^{n-2} \geq 0$
提示：二阶导数非负是凸函数的充分条件，注意定义域包含0时需考虑端点。
步骤 3/7
目标：应用凸函数性质（Jensen不等式）
对于凸函数 $f$，有 $f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$。代入 $f(t)=t^n$ 得：$\left(\frac{x+y}{2}\right)^n \leq \frac{x^n + y^n}{2}$，即原不等式成立。
公式：$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$
提示：Jensen不等式是凸函数的定义，注意不等号方向：凸函数时函数值的平均不小于平均点的函数值。
步骤 4/7
目标：分析不等式（2）的结构
不等式（2）为 $e^{\frac{a+b}{2}} \leq \frac{e^a + e^b}{2}$，其中 $a, b \in \mathbb{R}$。左边是指数函数在平均值处的值，右边是指数函数值的平均。同样考虑函数的凸性。
提示：指数函数是凸函数，这是常见结论。
步骤 5/7
目标：构造函数并验证凸性
令 $g(x) = e^x$，定义域为 $\mathbb{R}$。一阶导数 $g'(x) = e^x$，二阶导数 $g''(x) = e^x > 0$，因此 $g(x)$ 是严格下凸函数。
公式：$g''(x) = e^x > 0$
提示：二阶导数恒正，所以是严格凸函数，不等式严格成立除非 $a=b$。
步骤 6/7
目标：应用凸函数性质
由凸函数性质：$g\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{g(a)+g(b)}{2}$，即 $e^{\frac{a+b}{2}} \leq \frac{e^a + e^b}{2}$，不等式得证。
公式：$g\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{g(a)+g(b)}{2}$
提示：注意与（1）类似，都是利用凸函数的Jensen不等式。
步骤 7/7
目标：总结两个不等式的共同点
两个不等式都源于凸函数的性质：函数值的平均不小于平均点的函数值。其中（1）中的幂函数 $t^n$ 在 $n \geq 1$ 时是凸函数，（2）中的指数函数 $e^x$ 是凸函数。
提示：凸函数的判定：二阶导数非负（或正）。
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