上册 3.5 不等式证明 第24题
📝 题目
24．若函数 $F(x)$ 在区间 $(a, b)$ 上恒有 $F^{\prime \prime}(x)>0, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$ 为 $n$ 个正数．证明：对任意 $n$ 个数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 有不等式 $\displaystyle F\left(\frac{p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+\cdots+p_{n} x_{n}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}\right) \leqslant \frac{p_{1} F\left(x_{1}\right)+p_{2} F\left(x_{2}\right)+\cdots+p_{n} F\left(x_{n}\right)}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$ 。}
💡 答案解析
解题过程：
记 $\displaystyle a=\frac{p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+\cdots+p_{n} x_{n} \text { ．由泰勒公式 }}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$
$$
F\left(x_{i}\right)=F(a)+F^{\prime}(a)\left(x_{i}-a\right)+\frac{F^{\prime \prime}\left(\xi_{i}\right)}{2}\left(x_{i}-a\right)^{2} \geqslant F(a)+F^{\prime}(a)\left(x_{i}-a\right),(i=1,2, \cdots, n) .
$$
乘以 $p_{i}$ 后相加得
$$
\begin{aligned}
& p_{1} F\left(x_{1}\right)+p_{2} F\left(x_{2}\right)+\cdots+p_{n} F\left(x_{n}\right) \\
& \geqslant\left(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}\right) F(a)+F^{\prime}(a)\left[p_{1}\left(x_{1}-a\right)+p_{2}\left(x_{2}-a\right)+\cdots+p_{n}\left(x_{n}-a\right)\right] \\
& =\left(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}\right) F(a) \\
& F\left(\frac{p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+\cdots+p_{n} x_{n}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}\right) \leqslant \frac{p_{1} F\left(x_{1}\right)+p_{2} F\left(x_{2}\right)+\cdots+p_{n} F\left(x_{n}\right)}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}
\end{aligned}
$$
即
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入加权平均值
记加权平均值 $a = \frac{p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n}{p_1 + p_2 + \cdots + p_n}$，则 $a \in (a,b)$。
提示：注意 $a$ 是 $x_i$ 的加权平均，且由于 $x_i \in (a,b)$，$a$ 也在区间内。
步骤 2/5
目标：对每个 $x_i$ 应用泰勒公式
由于 $F''(x) > 0$，$F$ 是严格凸函数。对每个 $i$，在 $a$ 处展开到一阶余项：$F(x_i) = F(a) + F'(a)(x_i - a) + \frac{F''(\xi_i)}{2}(x_i - a)^2$，其中 $\xi_i$ 介于 $a$ 与 $x_i$ 之间。因为 $F''(\xi_i) > 0$，所以 $F(x_i) \ge F(a) + F'(a)(x_i - a)$。
公式：泰勒公式：$F(x) = F(a) + F'(a)(x-a) + \frac{F''(\xi)}{2}(x-a)^2$
提示：注意余项非负，因此得到不等式。
步骤 3/5
目标：乘以权重并求和
将不等式 $F(x_i) \ge F(a) + F'(a)(x_i - a)$ 两边乘以 $p_i$ 并对 $i$ 求和：$\sum_{i=1}^n p_i F(x_i) \ge \sum_{i=1}^n p_i F(a) + F'(a) \sum_{i=1}^n p_i (x_i - a)$。
提示：注意 $p_i > 0$，不等式方向不变。
步骤 4/5
目标：化简求和结果
由于 $\sum_{i=1}^n p_i (x_i - a) = \sum_{i=1}^n p_i x_i - a \sum_{i=1}^n p_i = (p_1+\cdots+p_n)a - a(p_1+\cdots+p_n) = 0$，所以 $\sum_{i=1}^n p_i F(x_i) \ge (p_1+\cdots+p_n) F(a)$。
提示：利用 $a$ 的定义消去线性项。
步骤 5/5
目标：得到最终不等式
两边除以 $p_1+\cdots+p_n$ 得 $\frac{\sum p_i F(x_i)}{\sum p_i} \ge F(a)$，即 $F\left(\frac{\sum p_i x_i}{\sum p_i}\right) \le \frac{\sum p_i F(x_i)}{\sum p_i}$。
提示：注意不等式方向：凸函数满足 Jensen 不等式。
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