上册 3.5 不等式证明 第25题
📝 题目
25．考察函数 $f(x)=x \ln x,(x>0)$ 的凸性，并由此证明下列不等式。
（1）$\displaystyle a^{a} b^{b} c^{c} \geqslant(a b c)^{\frac{a+b+c}{3}},(a>0, b>0, c>0)$ ，给出等号成立的条件。
（2）$\displaystyle a^{a} b^{b} \geqslant(a b)^{\frac{a+b}{2}},(a>0, b>0)$ 或 $\displaystyle a \ln a+b \ln b>(a+b) \ln \frac{a+b}{2}$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $f(x)=x \ln x,(x>0)$ ，则 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{x}>0, f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的严格凸函数．
（1）由题 22，$\forall a, b, c \in(0,+\infty)$ 有 $\displaystyle f\left(\frac{a+b+c}{3}\right) \leqslant \frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}$ ，即
$$
\frac{a+b+c}{3} \ln \left(\frac{a+b+c}{3}\right) \leqslant \frac{1}{3}(a \ln a+b \ln b+c \ln c) \text { 或 }\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c} \leqslant a^{a} b^{b} c^{c} \text {. }
$$
又因为 $\displaystyle \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c} \geqslant(\sqrt[3]{a b c})^{a+b+c}=(a b c)^{\frac{a+b+c}{3}}$ ，所以 $\displaystyle (a b c)^{\frac{a+b+c}{3}} \leqslant a^{a} b^{b} c^{c}$ ．
（2）由题 22，$\forall a, b \in(0,+\infty)$ 有 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ，即
$$
\frac{a+b}{2} \ln \left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}(a \ln a+b \ln b) \text { 或 }\left(\frac{a+b}{2}\right)^{a+b} \leqslant a^{a} b^{b} .
$$
又因为 $\displaystyle \left(\frac{a+b}{2}\right)^{a+b} \geqslant(\sqrt{a b})^{a+b}=(a b)^{\frac{a+b}{2}}$ ，所以 $\displaystyle a^{a} b^{b} \geqslant(a b)^{\frac{a+b}{2}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：判断函数凸性
设 $f(x)=x\ln x$，$x>0$。计算一阶导数：$f'(x)=\ln x+1$，二阶导数：$f''(x)=\frac{1}{x}>0$。由于二阶导数恒正，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是严格凸函数。
公式：f''(x)=\frac{1}{x}>0
提示：注意定义域 $x>0$，二阶导数正说明凸性（下凸）。
步骤 2/8
目标：应用凸函数不等式（三个变量）
由凸函数性质，对于任意 $a,b,c>0$，有 $f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\leq\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}$。代入 $f(x)=x\ln x$ 得：
$$\frac{a+b+c}{3}\ln\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\leq\frac{1}{3}(a\ln a+b\ln b+c\ln c)$$
公式：f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\leq\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}
提示：凸函数不等式方向：凸函数满足 $f(\frac{x_1+\dots+x_n}{n})\leq\frac{f(x_1)+\dots+f(x_n)}{n}$。
步骤 3/8
目标：转化为指数形式（三个变量）
将上述不等式两边乘以3并取指数（注意指数函数单调递增）：
$$\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}\leq a^a b^b c^c$$
公式：\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}\leq a^a b^b c^c
提示：取指数时注意底数 $\frac{a+b+c}{3}>0$。
步骤 4/8
目标：应用均值不等式（三个变量）
由算术-几何平均不等式：$\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc}$，两边取 $a+b+c$ 次幂（注意幂函数 $x^{a+b+c}$ 在 $x>0$ 时单调递增）：
$$\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}\geq (\sqrt[3]{abc})^{a+b+c}=(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$$
公式：\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc}
提示：注意幂次 $a+b+c>0$，所以不等式方向不变。
步骤 5/8
目标：推导结论（1）
结合步骤3和步骤4的不等式：$(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}\leq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}\leq a^a b^b c^c$，因此 $a^a b^b c^c\geq(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$。等号成立当且仅当 $a=b=c$。
提示：等号条件：凸函数不等式等号当 $a=b=c$ 时成立，均值不等式等号也当 $a=b=c$ 时成立。
步骤 6/8
目标：应用凸函数不等式（两个变量）
对于任意 $a,b>0$，由凸函数性质有 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq\frac{f(a)+f(b)}{2}$。代入 $f(x)=x\ln x$ 得：
$$\frac{a+b}{2}\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq\frac{1}{2}(a\ln a+b\ln b)$$
公式：f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq\frac{f(a)+f(b)}{2}
提示：与三变量类似，注意凸函数不等式方向。
步骤 7/8
目标：转化为指数形式（两个变量）
两边乘以2并取指数：
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{a+b}\leq a^a b^b$$
公式：\left(\frac{a+b}{2}\right)^{a+b}\leq a^a b^b
提示：取指数时底数 $\frac{a+b}{2}>0$。
步骤 8/8
目标：应用均值不等式并推导结论（2）
由算术-几何平均不等式：$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，两边取 $a+b$ 次幂得：
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{a+b}\geq (\sqrt{ab})^{a+b}=(ab)^{\frac{a+b}{2}}$$
结合步骤7的不等式得：$a^a b^b\geq(ab)^{\frac{a+b}{2}}$。等号成立当且仅当 $a=b$。
公式：\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}
提示：注意幂次 $a+b>0$，不等式方向不变。
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