上册 3.5 不等式证明 第27题
📝 题目
27．设 $a>0, b>0$ ，证明不等式 $\displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{(1-x)^{2}} \geqslant(a+b)^{3},(0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $\displaystyle \lambda=\frac{a}{a+b}$ ．令 $\displaystyle f(x)=\lambda^{3} \frac{1}{x^{2}}+(1-\lambda)^{3} \frac{1}{(1-x)^{2}},(00
$$
知 $\displaystyle f(x)=\lambda^{3} \frac{1}{x^{2}}+(1-\lambda)^{3} \frac{1}{(1-x)^{2}}$ 在 $x=\lambda$ 取极小值 $f(\lambda)=1$ ．
又由于 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}=+\infty$ ，所以 $\min _{(0,1)} f(x)=1$ ．于是 $\displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{(1-x)^{2}} \geqslant(a+b)^{3},(0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入参数λ简化不等式
令 $\lambda = \frac{a}{a+b}$，则 $a = \lambda (a+b)$，$b = (1-\lambda)(a+b)$。原不等式两边除以 $(a+b)^3$ 得：$\frac{\lambda^3}{x^2} + \frac{(1-\lambda)^3}{(1-x)^2} \geq 1$。定义函数 $f(x) = \frac{\lambda^3}{x^2} + \frac{(1-\lambda)^3}{(1-x)^2}$，$0
公式：$\lambda = \frac{a}{a+b}$
提示：注意λ的范围：0<λ<1，因为a>0,b>0。
步骤 2/6
目标：求导数找驻点
对 $f(x)$ 求导：$f'(x) = -2\lambda^3 \frac{1}{x^3} + 2(1-\lambda)^3 \frac{1}{(1-x)^3}$。令 $f'(x)=0$ 得：$\frac{\lambda^3}{x^3} = \frac{(1-\lambda)^3}{(1-x)^3}$，即 $\frac{\lambda}{x} = \frac{1-\lambda}{1-x}$。解得 $x = \lambda$。
公式：$f'(x) = -2\lambda^3 x^{-3} + 2(1-\lambda)^3 (1-x)^{-3}$
提示：注意求导时系数2不要遗漏，且分母幂次为3。
步骤 3/6
目标：验证驻点为极小值点
计算二阶导数：$f''(x) = 6\lambda^3 x^{-4} + 6(1-\lambda)^3 (1-x)^{-4}$。代入 $x=\lambda$ 得：$f''(\lambda) = 6\lambda^3 \lambda^{-4} + 6(1-\lambda)^3 (1-\lambda)^{-4} = \frac{6}{\lambda} + \frac{6}{1-\lambda} = \frac{6}{\lambda(1-\lambda)} > 0$。因此 $x=\lambda$ 是极小值点。
公式：$f''(x) = 6\lambda^3 x^{-4} + 6(1-\lambda)^3 (1-x)^{-4}$
提示：二阶导数大于0表明是极小值，注意计算时幂次正确。
步骤 4/6
目标：计算极小值
将 $x=\lambda$ 代入 $f(x)$：$f(\lambda) = \frac{\lambda^3}{\lambda^2} + \frac{(1-\lambda)^3}{(1-\lambda)^2} = \lambda + (1-\lambda) = 1$。所以极小值为1。
公式：$f(\lambda) = \lambda + (1-\lambda) = 1$
提示：注意约分时指数运算正确。
步骤 5/6
目标：分析边界行为
当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{\lambda^3}{x^2} \to +\infty$，$\frac{(1-\lambda)^3}{(1-x)^2} \to (1-\lambda)^3$，故 $f(x) \to +\infty$。同理，当 $x \to 1^-$ 时，$f(x) \to +\infty$。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的最小值为 $f(\lambda)=1$。
提示：边界趋于无穷大，说明极小值就是最小值。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $f(x) \geq 1$ 对所有 $x \in (0,1)$ 成立，即 $\frac{\lambda^3}{x^2} + \frac{(1-\lambda)^3}{(1-x)^2} \geq 1$。两边乘以 $(a+b)^3$ 得：$\frac{a^3}{x^2} + \frac{b^3}{(1-x)^2} \geq (a+b)^3$，证毕。
提示：注意乘以 $(a+b)^3$ 时，左边各项系数还原。
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