上册 3.5 不等式证明 第28题
📝 题目
28．证明下列结论．
（1）设 函 数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$f(0)=0, f^{\prime}(0)>1$ 。证明：存 在 $\delta>0$ 使 得 $f(x)>x, x \in(0, \delta)$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上二次可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 。试证明：$f(x) \geqslant x, \forall x \in \mathbf{R}$ ．
（3）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 二阶连续可微，且 $f(0)=0, f(1)=1, f^{\prime \prime}(x)<0, \forall x \in[0,1]$ ．证明 $f(x) \geqslant x, \forall x \in[0,1]$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由题设条件知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)>1$ ．于是存在 $\delta>0$ ，使得当 $0<|x|<\delta$ 时有 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}>\frac{f^{\prime}(0)+1}{2}>1$ ．从而当 $x \in(0, \delta)$ 时有 $f(x)>x$ ．
（2）$\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} x=0, f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ．
由泰勒公式 $\displaystyle f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2} x^{2}$ 。所以 $f(x) \geqslant x, \forall x \in \mathbf{R}$ 。
（3）方法 1：当 $x=0,1$ 时，显然成立．对任何 $00
\end{aligned}
$$
于是 $f(x)>x$ ．
方法 2：由 $f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ 知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是上凹函数。于是对任意 $x_{1}, x_{2} \in[0,1], 0 \leqslant \lambda \leqslant 1$ 有
$$
f\left((1-\lambda) x_{1}+\lambda x_{2}\right) \geqslant(1-\lambda) f\left(x_{1}\right)+\lambda f\left(x_{2}\right) .
$$
故对 $x \in[0,1]$ 有
$$
f(x)=f((1-x) \cdot 0+x \cdot 1) \geqslant(1-x) f(0)+x f(1)=x .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：利用导数定义转化条件
由 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $f(0)=0$，根据导数定义：$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)>1$。
公式：$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
提示：注意 $f(0)=0$ 的条件，否则不能直接写 $\frac{f(x)}{x}$。
步骤 2/8
目标：利用极限保号性得到局部不等式
由于 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=f'(0)>1$，取 $\varepsilon=\frac{f'(0)-1}{2}>0$，则存在 $\delta>0$，使得当 $0<|x|<\delta$ 时，有 $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{x}-f'(0)\right|<\varepsilon$，从而 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}>f'(0)-\varepsilon=\frac{f'(0)+1}{2}>1$。
公式：极限保号性
提示：注意 $\varepsilon$ 的选取要保证下界大于1。
步骤 3/8
目标：得到结论
因此，当 $x\in(0,\delta)$ 时，$\frac{f(x)}{x}>1$，即 $f(x)>x$。
提示：注意 $x>0$，不等式方向不变。
步骤 4/8
目标：推导 $f(0)$ 和 $f'(0)$
由 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$ 及 $f$ 连续，得 $f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\cdot x=1\cdot 0=0$。再由导数定义：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$。
公式：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
提示：注意 $f(0)$ 的推导需要用到极限乘法。
步骤 5/8
目标：应用泰勒公式
由于 $f$ 二次可导，由带拉格朗日余项的泰勒公式：$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi)}{2}x^2$，其中 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。代入 $f(0)=0$，$f'(0)=1$，得 $f(x)=x+\frac{f''(\xi)}{2}x^2$。
公式：$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi)}{2}x^2$
提示：注意余项形式，$\xi$ 依赖于 $x$。
步骤 6/8
目标：利用二阶导数正性得到不等式
由 $f''(x)>0$ 知 $f''(\xi)>0$，从而 $\frac{f''(\xi)}{2}x^2\geq 0$，故 $f(x)\geq x$，等号仅在 $x=0$ 时成立。
提示：注意 $x^2\geq 0$，所以不等式成立。
步骤 7/8
目标：端点情况处理
当 $x=0$ 时，$f(0)=0$，不等式成立；当 $x=1$ 时，$f(1)=1$，不等式成立。对于 $0
公式：拉格朗日中值定理
提示：注意 $x-1<0$。
步骤 8/8
目标：组合表达式并利用二阶导数负性
将两式组合：$f(x)-x = (1-x)(f(x)-f(0)) + x(f(x)-f(1)) = (1-x)x f'(\xi_1) + x(x-1) f'(\xi_2) = x(1-x)(f'(\xi_1)-f'(\xi_2))$。再由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_3\in(\xi_1,\xi_2)$ 使得 $f'(\xi_1)-f'(\xi_2)=f''(\xi_3)(\xi_1-\xi_2)$。由于 $f''(x)<0$ 且 $\xi_1<\xi_2$，故 $f''(\xi_3)<0$，$\xi_1-\xi_2<0$，乘积为正，从而 $f(x)-x>0$。
公式：$f'(\xi_1)-f'(\xi_2)=f''(\xi_3)(\xi_1-\xi_2)$
提示：注意符号判断：负负得正。
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