上册 3.5 不等式证明 第29题
📝 题目
29．证明下列结论．
（1）设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x), x \in(a, b), f(a)>g(a)$ ．证明：$f(x)>g(x), x \in[a, b]$ ．
（2）若 $f(x), g(x)$ 都 是 可 微 函 数，且 当 $x \geqslant a$ 时，$\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant g^{\prime}(x)$ 。则 当 $x \geqslant a$ 时， $|f(x)-f(a)| \leqslant g(x)-g(a)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $F(x)=f(x)-g(x)$ ，则 $F(a)=f(a)-g(a)>0, F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)>0$ 。于 是 $F(x)=f(x)-g(x)$ 在 $(a, b)$ 单调增加．所以 $F(x)>F(a)$ ，即 $f(x)>g(x), x \in[a, b]$ ．
（2）由 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant g^{\prime}(x)$ 知，当 $x \geqslant a$ 时 $g(x)$ 单调增加。于是 $g(x)-g(a) \geqslant 0$ 。令
$$
G(t)=(f(t)-f(a))(g(x)-g(a))-(f(x)-f(a))(g(t)-g(a)), t \in[a, x]
$$
由罗尔定理，存在 $\xi \in(a, x)$ 使
$$
G^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(t)(g(x)-g(a))-g^{\prime}(\xi)(f(x)-f(a))=0
$$
即
$$
|f(x)-f(a)| g^{\prime}(\xi)=\left|g(x)-g(a) \| f^{\prime}(\xi)\right| .
$$
由已知条件得
$$
|f(x)-f(a)| \leqslant g(x)-g(a)
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数
令 $F(x) = f(x) - g(x)$，则 $F(a) = f(a) - g(a) > 0$，且 $F'(x) = f'(x) - g'(x) > 0$ 在 $(a,b)$ 内成立。
公式：$F(x)=f(x)-g(x)$
提示：注意 $F(a)>0$ 是已知条件，$F'(x)>0$ 由 $f'(x)>g'(x)$ 得到。
步骤 2/6
目标：利用单调性证明不等式
由于 $F'(x) > 0$，$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调递增。因此对任意 $x \in (a,b]$，有 $F(x) > F(a) > 0$，即 $f(x) > g(x)$。当 $x=a$ 时，由 $f(a)>g(a)$ 知不等式也成立。
公式：单调递增性质：$x>a \Rightarrow F(x)>F(a)$
提示：注意 $x=a$ 处需单独说明，因为单调性只保证 $x>a$ 时 $F(x)>F(a)$。
步骤 3/6
目标：分析第二问条件
由 $|f'(x)| \leq g'(x)$ 可知 $g'(x) \geq 0$，故 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调不减，从而 $g(x)-g(a) \geq 0$。
公式：$g'(x) \geq 0 \Rightarrow g(x)$ 单调不减
提示：注意 $g'(x)$ 非负，但 $g(x)$ 不一定严格递增。
步骤 4/6
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理
固定 $x \geq a$，定义函数 $G(t) = (f(t)-f(a))(g(x)-g(a)) - (f(x)-f(a))(g(t)-g(a))$，$t \in [a,x]$。易验证 $G(a)=0$，$G(x)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,x)$ 使得 $G'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $G(a)=G(x)$，则存在 $\xi \in (a,x)$ 使 $G'(\xi)=0$
提示：注意 $G(t)$ 的构造技巧，目的是得到 $f$ 和 $g$ 的差值关系。
步骤 5/6
目标：计算导数并整理
计算 $G'(t) = f'(t)(g(x)-g(a)) - g'(t)(f(x)-f(a))$。代入 $t=\xi$ 得 $f'(\xi)(g(x)-g(a)) = g'(\xi)(f(x)-f(a))$。两边取绝对值并利用 $|f'(\xi)| \leq g'(\xi)$ 得 $|f(x)-f(a)| g'(\xi) = |f'(\xi)| (g(x)-g(a)) \leq g'(\xi)(g(x)-g(a))$。
公式：$G'(\xi)=0 \Rightarrow f'(\xi)(g(x)-g(a)) = g'(\xi)(f(x)-f(a))$
提示：取绝对值时注意 $g(x)-g(a) \geq 0$，$g'(\xi) \geq 0$，因此绝对值可直接去掉。
步骤 6/6
目标：消去公因子得到结论
由于 $g'(\xi) \geq 0$，若 $g'(\xi)=0$，则 $|f(x)-f(a)| \cdot 0 \leq 0 \cdot (g(x)-g(a))$ 恒成立，不等式成立；若 $g'(\xi)>0$，两边除以 $g'(\xi)$ 得 $|f(x)-f(a)| \leq g(x)-g(a)$。综上，结论成立。
公式：除以 $g'(\xi)$ 需考虑其是否为零
提示：注意分类讨论 $g'(\xi)=0$ 的情况，避免除以零。
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