上册 3.5 不等式证明 第30题
📝 题目
30．设在 $[a, b]$ 上，$\left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left|g^{\prime}(x)\right|, f^{\prime}(x) \neq 0$ ．证明：
（1）$|\Delta f(x)| \geqslant|\Delta g(x)|$ ，且在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, x\right)$ 上 $|\Delta \arctan x| \leqslant \Delta \ln \left(1+x^{2}\right)$ ；
（2）在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right] \mathrm{t} \arctan x-\ln \left(1+x^{2}\right) \geqslant \frac{\pi}{4}-\ln 2$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$\forall x_{1}, x_{2} \in[a, b]$ ，不妨设 $x_{1}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理
对于任意 $x_1, x_2 \in [a, b]$，不妨设 $x_1 < x_2$。构造辅助函数
$$G(t) = (f(t) - f(x_1))(g(x_2) - g(x_1)) - (f(x_2) - f(x_1))(g(t) - g(x_1)), \quad t \in [x_1, x_2].$$
易见 $G(x_1) = G(x_2) = 0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (x_1, x_2)$ 使得 $G'(\xi) = 0$。
公式：罗尔定理：若 $G(x_1)=G(x_2)$，则存在 $\xi \in (x_1, x_2)$ 使 $G'(\xi)=0$。
提示：注意辅助函数的构造方式，确保两端点函数值相等。
步骤 2/5
目标：求导并利用条件得到不等式
计算 $G'(t)$：
$$G'(t) = f'(t)(g(x_2)-g(x_1)) - (f(x_2)-f(x_1))g'(t).$$
代入 $t=\xi$ 得
$$f'(\xi)(g(x_2)-g(x_1)) = (f(x_2)-f(x_1))g'(\xi).$$
两边取绝对值，并利用已知条件 $|f'(\xi)| \geq |g'(\xi)|$ 且 $f'(\xi) \neq 0$，得
$$|f(x_2)-f(x_1)| \cdot |g'(\xi)| = |f'(\xi)| \cdot |g(x_2)-g(x_1)| \geq |g'(\xi)| \cdot |g(x_2)-g(x_1)|.$$
由于 $|g'(\xi)| > 0$（否则 $g$ 为常数，但 $f' \neq 0$ 可排除平凡情况），两边除以 $|g'(\xi)|$ 得
$$|f(x_2)-f(x_1)| \geq |g(x_2)-g(x_1)|,$$
即 $|\Delta f(x)| \geq |\Delta g(x)|$。
公式：绝对值不等式：$|a||b| \geq |c||d|$ 推导。
提示：注意 $f'(\xi) \neq 0$ 保证除法有意义；$g'(\xi)$ 可能为零，需单独讨论，但由条件 $|f'| \geq |g'|$ 且 $f' \neq 0$ 可推出 $g'$ 不为零？实际上 $g'$ 可能为零，此时不等式显然成立（左边非负，右边为零）。
步骤 3/5
目标：验证函数满足条件
取 $f(x)=\arctan x$，$g(x)=\ln(1+x^2)$，定义域为 $[\frac{1}{2}, 1]$。计算导数：
$$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}, \quad g'(x) = \frac{2x}{1+x^2}.$$
在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上，由于 $x > \frac{1}{2}$，有 $2x > 1$，因此
$$|f'(x)| = \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{2x}{1+x^2} = |g'(x)|.$$
注意题目条件为 $|f'| \geq |g'|$，这里恰好相反，但后续推导中我们实际上需要 $|\Delta f| \leq |\Delta g|$，因此应用（1）的结论时需注意方向。实际上（1）中条件 $|f'| \geq |g'|$ 推出 $|\Delta f| \geq |\Delta g|$；这里 $|f'| \leq |g'|$，故应推出 $|\Delta f| \leq |\Delta g|$。
公式：导数公式：$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$，$(\ln(1+x^2))' = \frac{2x}{1+x^2}$。
提示：注意比较 $|f'|$ 和 $|g'|$ 的大小关系，这里 $|f'| \leq |g'|$，与（1）条件相反，因此结论方向相反。
步骤 4/5
目标：应用（1）的结论得到不等式
由（1）的结论，若 $|f'(x)| \leq |g'(x)|$，则 $|\Delta f(x)| \leq |\Delta g(x)|$。取 $x_1 = x$，$x_2 = 1$，则
$$|\arctan 1 - \arctan x| \leq |\ln(1+1^2) - \ln(1+x^2)|.$$
由于 $\arctan$ 和 $\ln$ 在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上均为增函数，且 $x \leq 1$，故 $\arctan 1 \geq \arctan x$，$\ln 2 \geq \ln(1+x^2)$，绝对值可去掉：
$$\arctan 1 - \arctan x \leq \ln 2 - \ln(1+x^2).$$
即
$$\arctan x - \ln(1+x^2) \geq \arctan 1 - \ln 2 = \frac{\pi}{4} - \ln 2.$$
公式：单调性：$\arctan x$ 和 $\ln(1+x^2)$ 在 $[\frac{1}{2},1]$ 上递增。
提示：注意绝对值去掉时需确认函数单调性，确保不等式方向正确。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，对于任意 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$，有
$$\arctan x - \ln(1+x^2) \geq \frac{\pi}{4} - \ln 2.$$
等号在 $x=1$ 时成立。
提示：注意等号成立条件：$x=1$ 时两边相等。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。