上册 3.5 不等式证明 第33题
📝 题目
33．设 $f(x)=a_{1} \sin x+a_{2} \sin (2 x)+\cdots+a_{n} \sin (n x)$ ，且 $|f(x)| \leqslant|\sin x|, a_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为实常数。求证：$\left|a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}\right| \leqslant 1$ ．
💡 答案解析
解题过程：
由已知有 $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{\sin x}\right|=\left|a_{1}+a_{2} \frac{\sin (2 x)}{\sin x}+\cdots+a_{n} \frac{\sin (n x)}{\sin x}\right| \leqslant 1$ ．让 $x \rightarrow 0$ 得 $\left|a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}\right| \leqslant 1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知不等式构造分式
由已知条件 $|f(x)| \leq |\sin x|$，且 $\sin x \neq 0$ 时，两边除以 $|\sin x|$ 得 $\left|\frac{f(x)}{\sin x}\right| \leq 1$。代入 $f(x)$ 表达式：
$$\left|\frac{a_1 \sin x + a_2 \sin(2x) + \cdots + a_n \sin(nx)}{\sin x}\right| \leq 1.$$
公式：|f(x)| ≤ |sin x|
提示：注意 $\sin x$ 可能为零，但极限过程 $x \to 0$ 时 $\sin x \neq 0$，因此分式有意义。
步骤 2/5
目标：化简分式中的各项
将分式拆分为各项之和：
$$\frac{f(x)}{\sin x} = a_1 + a_2 \frac{\sin(2x)}{\sin x} + \cdots + a_n \frac{\sin(nx)}{\sin x}.$$
提示：注意 $\frac{\sin(kx)}{\sin x}$ 不是简单的 $k$，需要利用极限。
步骤 3/5
目标：利用极限求导数值
考虑 $x \to 0$ 时的极限。由于 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{k \cos(kx)}{\cos x} = k$（洛必达法则或等价无穷小），因此
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x} = a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n.$$
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{\sin x} = k
提示：使用洛必达法则时需注意分子分母同时求导，或直接利用 $\sin(kx) \sim kx$，$\sin x \sim x$ 当 $x \to 0$。
步骤 4/5
目标：应用不等式取极限
由 $\left|\frac{f(x)}{\sin x}\right| \leq 1$ 对所有 $x \neq 0$ 成立，取极限 $x \to 0$ 得
$$\left|\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x}\right| \leq 1.$$
即 $\left|a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n\right| \leq 1$。
公式：若 |g(x)| ≤ M 且极限存在，则 |lim g(x)| ≤ M
提示：极限保不等式性：若 $|g(x)| \leq 1$，则 $\lim |g(x)| \leq 1$，但需注意极限存在。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，原不等式得证：
$$\left|a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n\right| \leq 1.$$
提示：注意结论中系数为 $1,2,\dots,n$，与 $\sin(kx)/\sin x$ 在 $x=0$ 处的导数有关。
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