上册 3.5 不等式证明 第34题
📝 题目
34．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 有二阶导数，且 $\displaystyle f(x) \leqslant \frac{1}{2}(f(x+h)+f(x-h))$ ．试证：$f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．
（2）设 函 数 $f(x) \in C^{2}(\mathbf{R})$ ，且 $f(x+h)+f(x-h)-2 f(x) \leqslant 0, x \in \mathbf{R}, \forall h>0$ ．证 明 $\forall x \in \mathbf{R}$ ， $f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\forall x \in \mathbf{R}$ ，由 Taylor 公式
两式相加得
$$
f(x \pm h)=f(x) \pm f^{\prime}(x) h+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(x) h^{2}+o\left(h^{2}\right)
$$
于是
$$
f(x+h)+f(x-h)=2 f(x)+f^{\prime \prime}(x) h^{2}+o\left(h^{2}\right)
$$
于是 $\displaystyle \quad f^{\prime \prime}(x) h^{2}+o\left(h^{2}\right) \geqslant 0, f^{\prime \prime}(x)+\frac{o\left(h^{2}\right)}{h^{2}} \geqslant 0$ 。
令 $h \rightarrow 0$ 得 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．
（2）由（1）知 $\forall x \in \mathbf{R}, f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出泰勒展开式
对函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处进行二阶泰勒展开，得到 $f(x+h)$ 和 $f(x-h)$ 的表达式：
$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2+o(h^2)$$
$$f(x-h)=f(x)-f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2+o(h^2)$$
公式：泰勒公式：$f(x\pm h)=f(x)\pm f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2+o(h^2)$
提示：注意 $o(h^2)$ 表示高阶无穷小，且两个展开式中的 $o(h^2)$ 可能不同，但相加后仍为 $o(h^2)$。
步骤 2/5
目标：两式相加得到关系式
将两个泰勒展开式相加，得到：
$$f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f''(x)h^2+o(h^2)$$
提示：相加后 $f'(x)h$ 项抵消，仅保留二阶项。
步骤 3/5
目标：利用已知不等式推导
由已知条件 $f(x) \leq \frac{1}{2}(f(x+h)+f(x-h))$，可得 $2f(x) \leq f(x+h)+f(x-h)$。代入上一步结果：
$$2f(x) \leq 2f(x)+f''(x)h^2+o(h^2)$$
化简得：
$$f''(x)h^2+o(h^2) \geq 0$$
提示：注意不等式方向，移项后得到非负表达式。
步骤 4/5
目标：除以 $h^2$ 并取极限
将不等式两边除以 $h^2$（$h>0$），得：
$$f''(x)+\frac{o(h^2)}{h^2} \geq 0$$
令 $h \to 0$，由于 $\frac{o(h^2)}{h^2} \to 0$，得到 $f''(x) \geq 0$。
公式：极限性质：$\lim_{h\to 0}\frac{o(h^2)}{h^2}=0$
提示：注意 $h$ 趋于0时，高阶无穷小项消失。
步骤 5/5
目标：证明第二部分
第二部分的条件是 $f(x+h)+f(x-h)-2f(x) \leq 0$，即 $f(x) \geq \frac{1}{2}(f(x+h)+f(x-h))$。与第一部分的不等式方向相反，因此类似推导可得 $f''(x) \leq 0$。
提示：注意不等号方向改变，导致最终结论相反。
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