上册 3.5 不等式证明 第35题
📝 题目
35．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有二阶导数，$f(0) \geqslant 0, f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ，且满足 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant f(x)$ ．求证：$f(x) \geqslant f(0)+f^{\prime}(0) x,(x \in[0,+\infty))$.
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $F(x)=\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-x}$ ，则
$$
F(0)=f(0)+f^{\prime}(0) \geqslant 0, F^{\prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-x}-\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^{-x}=\left(f^{\prime \prime}(x)-f(x)\right) \mathrm{e}^{-x} \geqslant 0
$$
于是 $F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增加，且 $F(x) \geqslant F(0) \geqslant 0$ ．从而 $f(x)+f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．
又记 $G(x)=f(x) \mathrm{e}^{x}$ ，则 $G(0)=f(0) \geqslant 0, G^{\prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)+f(x)\right) \mathrm{e}^{x} \geqslant 0$ ．于是 $G(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增加，且 $G(x) \geqslant G(0) \geqslant 0$ ．从而 $f(x) \geqslant 0$ ，进一步 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant f(x) \geqslant 0$ ．
由泰勒公式得 $\displaystyle f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2!} f^{\prime \prime}(\xi) x^{2} \geqslant f(0)+f^{\prime}(0) x$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数 F(x) 并求导
令 $F(x) = (f(x) + f'(x)) e^{-x}$，则 $F(0) = f(0) + f'(0) \geq 0$。求导得 $F'(x) = (f'(x) + f''(x)) e^{-x} - (f(x) + f'(x)) e^{-x} = (f''(x) - f(x)) e^{-x} \geq 0$，因为 $f''(x) \geq f(x)$。
公式：$F'(x) = (f''(x) - f(x)) e^{-x}$
提示：注意求导时使用乘积法则，并正确提取公因子 $e^{-x}$。
步骤 2/5
目标：由 F(x) 单调性得到不等式
由于 $F'(x) \geq 0$，$F(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增，故 $F(x) \geq F(0) \geq 0$，即 $(f(x) + f'(x)) e^{-x} \geq 0$，从而 $f(x) + f'(x) \geq 0$。
公式：$F(x) \geq F(0) \Rightarrow f(x) + f'(x) \geq 0$
提示：注意 $e^{-x} > 0$，所以不等式方向不变。
步骤 3/5
目标：构造辅助函数 G(x) 并求导
令 $G(x) = f(x) e^{x}$，则 $G(0) = f(0) \geq 0$。求导得 $G'(x) = (f'(x) + f(x)) e^{x} \geq 0$，因为上一步已得 $f(x) + f'(x) \geq 0$。
公式：$G'(x) = (f'(x) + f(x)) e^{x}$
提示：注意 $e^{x} > 0$，所以 $G'(x) \geq 0$ 成立。
步骤 4/5
目标：由 G(x) 单调性得到 f(x) 非负
由于 $G'(x) \geq 0$，$G(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增，故 $G(x) \geq G(0) \geq 0$，即 $f(x) e^{x} \geq 0$，从而 $f(x) \geq 0$。进一步，由条件 $f''(x) \geq f(x)$ 得 $f''(x) \geq 0$。
公式：$G(x) \geq G(0) \Rightarrow f(x) \geq 0$
提示：注意 $f(x) \geq 0$ 是后续使用泰勒公式的基础。
步骤 5/5
目标：应用泰勒公式展开 f(x)
由泰勒公式，存在 $\xi \in (0, x)$ 使得 $f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{1}{2!} f''(\xi) x^2$。由于 $f''(\xi) \geq 0$，所以 $\frac{1}{2!} f''(\xi) x^2 \geq 0$，因此 $f(x) \geq f(0) + f'(0) x$。
公式：$f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{1}{2} f''(\xi) x^2$
提示：注意泰勒公式的余项是拉格朗日型，且 $\xi$ 依赖于 $x$。
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