上册 3.5 不等式证明 第36题
📝 题目
36．设 $x>-1$ ，可微 函 数 $f(x)$ 满 足 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{1+x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0, f(0)=1$ ．求 证 $\mathrm{e}^{-x} \leqslant f(x)<1,(x \geqslant 0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{1+x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ 得
$$
f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)+\frac{1}{(1+x)^{2}} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{f(x)}{1+x}=0
$$
于是
$$
f^{\prime \prime}(x)+\frac{2+x}{1+x} f^{\prime}(x)=0
$$
解之得
$$
f^{\prime}(x)=c \mathrm{e}^{-x} \frac{1}{1+x}
$$
由已知条件 $f^{\prime}(0)=-f(0)=-1$ 得 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x} \frac{1}{1+x}$ ．
当 $x \geqslant 0$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，从而 $f(x)$ 单调减少．所以 $f(x) \leqslant f(0)=1$ ．
令 $F(x)=f(x)-\mathrm{e}^{-x},(x \geqslant 0)$ ，则
$$
F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+\mathrm{e}^{-x}=-\mathrm{e}^{-x} \frac{1}{1+x}+\mathrm{e}^{-x}=x \mathrm{e}^{-x} \frac{1}{1+x} \geqslant 0
$$
所以 $F(x)$ 单调增加，从而 $F(x) \geqslant F(0)=0$ ，即 $f(x) \geqslant \mathrm{e}^{-x}$ ．
综上得 $\mathrm{e}^{-x} \leqslant f(x) \leqslant 1$ ．
\title{
研究生入学考试数学分析真题集解（上册）
}
YANJIUSHENG RUXUE KAOSHI SHUXUE FENXI ZHENTI JIJIE（SHANG CE ）
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：对原方程求导，消去积分项
原方程：$f'(x)+f(x)-\frac{1}{1+x}\int_0^x f(t)dt=0$。两边对$x$求导，得：$f''(x)+f'(x)+\frac{1}{(1+x)^2}\int_0^x f(t)dt-\frac{f(x)}{1+x}=0$。
公式：$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\int_0^x f(t)dt\right)=-\frac{1}{(1+x)^2}\int_0^x f(t)dt+\frac{f(x)}{1+x}$
提示：注意对乘积求导时，$\frac{1}{1+x}$和$\int_0^x f(t)dt$都要分别求导。
步骤 2/7
目标：利用原方程消去积分项，得到关于$f$的二阶微分方程
由原方程得：$\frac{1}{1+x}\int_0^x f(t)dt = f'(x)+f(x)$。代入求导后的方程，得：$f''(x)+f'(x)+\frac{1}{1+x}(f'(x)+f(x))-\frac{f(x)}{1+x}=0$，化简得：$f''(x)+\frac{2+x}{1+x}f'(x)=0$。
公式：$f''(x)+\frac{2+x}{1+x}f'(x)=0$
提示：代入时注意符号，避免出错。
步骤 3/7
目标：求解二阶微分方程，得到$f'(x)$的表达式
令$g(x)=f'(x)$，则$g'(x)+\frac{2+x}{1+x}g(x)=0$。分离变量：$\frac{dg}{g}=-\frac{2+x}{1+x}dx$。积分得：$\ln|g| = -\int \frac{2+x}{1+x}dx = -\int (1+\frac{1}{1+x})dx = -x - \ln(1+x) + C$。所以$g(x)=Ce^{-x}\frac{1}{1+x}$，即$f'(x)=Ce^{-x}\frac{1}{1+x}$。
公式：$\int \frac{2+x}{1+x}dx = x + \ln(1+x) + C$
提示：注意积分常数$C$的确定。
步骤 4/7
目标：利用初始条件确定常数$C$
由原方程，令$x=0$得：$f'(0)+f(0)-\frac{1}{1+0}\int_0^0 f(t)dt=0$，即$f'(0)+1=0$，所以$f'(0)=-1$。代入$f'(x)=Ce^{-x}\frac{1}{1+x}$，得$f'(0)=C=-1$。因此$f'(x)=-e^{-x}\frac{1}{1+x}$。
公式：$f'(0)=-1$
提示：注意$f(0)=1$，积分从0到0为0。
步骤 5/7
目标：证明$f(x)<1$（$x\geq 0$）
当$x\geq 0$时，$f'(x)=-e^{-x}\frac{1}{1+x}<0$，所以$f(x)$在$[0,\infty)$上严格单调递减。因此$f(x)\leq f(0)=1$，且等号仅在$x=0$时成立，故$f(x)<1$（$x>0$）。
公式：无
提示：注意单调递减的结论。
步骤 6/7
目标：构造辅助函数$F(x)=f(x)-e^{-x}$，证明$f(x)\geq e^{-x}$
令$F(x)=f(x)-e^{-x}$，$x\geq 0$。求导得：$F'(x)=f'(x)+e^{-x}=-e^{-x}\frac{1}{1+x}+e^{-x}=e^{-x}\left(1-\frac{1}{1+x}\right)=e^{-x}\frac{x}{1+x}\geq 0$。所以$F(x)$在$[0,\infty)$上单调递增，故$F(x)\geq F(0)=f(0)-1=0$，即$f(x)\geq e^{-x}$。
公式：$F'(x)=e^{-x}\frac{x}{1+x}$
提示：注意$F(0)=0$。
步骤 7/7
目标：综合结论
由以上两步，对$x\geq 0$，有$e^{-x}\leq f(x)<1$。
公式：无
提示：注意等号成立条件：$x=0$时$f(0)=1$，$e^{-0}=1$，所以$f(0)=1$，但题目要求$f(x)<1$（$x>0$），故严格不等式。
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