下册 7.1 多元函数的极限与连续 第2题
📝 题目
2．设二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1,(x, y) \in\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid 0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=k x}} f(x, y)=0, \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=k x^{2}}} f(x, y)=1,0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解函数定义
函数 $f(x,y)$ 定义为：当 $(x,y)$ 满足 $0
提示：注意函数在原点处有定义，但极限存在性与函数值无关。
步骤 2/5
目标：选择第一条路径：直线 $y=kx$
取路径 $y=kx$，其中 $k$ 为常数。当 $x\to 0$ 时，$y\to 0$。判断该路径上是否满足 $00$ 且 $k>0$ 时，$kx x^2$，所以 $f(x,kx)=0$。因此沿此路径极限为0。
公式：沿 $y=kx$，$\lim_{x\to 0} f(x,kx)=0$
提示：注意 $k$ 是常数，$x$ 趋近0时 $x^2$ 比 $kx$ 更快趋近0，因此 $kx > x^2$ 对足够小的 $x$ 成立。
步骤 3/5
目标：选择第二条路径：抛物线 $y=kx^2$
取路径 $y=kx^2$，其中 $00$ 且 $kx^2
公式：沿 $y=kx^2$（$0
提示：注意 $k$ 必须严格介于0和1之间，否则不等式不成立。
步骤 4/5
目标：比较两条路径的极限值
沿直线 $y=kx$ 得到极限0，沿抛物线 $y=kx^2$（$0
提示：极限存在要求所有路径的极限值相等，这里找到两条路径极限不同即可。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，$f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的极限不存在。
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