下册 7.1 多元函数的极限与连续 第3题
📝 题目
3．证明或讨论下列函数的连续性．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin (x y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$ 的连续性．
（2）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}-y^{3}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的连续性．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\ln (1+x y)}{x}, x \neq 0, \\ y, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-x y} \frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ 时，$\displaystyle f(x, y)=\frac{\sin x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 在点 $(x, y)$ 连续．
当 $x^{2}+y^{2}=0$ 时，因为 $\displaystyle \left|\frac{\sin x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| \leqslant \frac{|x y|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \leqslant|x|$ ，故 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0=f(0,0)$ ，即 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续．
故 $f(x, y)$ 在整个平面 $\mathbf{R}^{2}$ 上连续．
（2）当 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ 时，取路线 $y=k x^{2}-x$ ，有
$$
f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}-y^{3}}=\frac{x+y}{x^{2}+x y+y^{2}}=\frac{x+k x^{2}-x}{x^{2}+x^{2}(k x-1)+x^{2}(k x-1)^{2}}=\frac{k}{k x+(k x-1)^{2}} \rightarrow k,(x \rightarrow 0) .
$$
由于 $k$ 值不同时，极限值也不同，所以 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 不存在，从而 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续．
（3）$f(x, y)$ 的定义域 $D=\{(x, y) \mid 1+x y>0\}$ ．
显然 $f(x, y)$ 在 $(x, y) \in D, x \neq 0$ 处连续，$f(0,0)=0$ ．
因 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\ln (1+x y)}{x}=0$ ，所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．
对任意 $\displaystyle y_{0} \neq 0, f\left(0, y_{0}\right)=y_{0}, \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow y_{0}}} y \ln (1+x y)^{\frac{1}{x y}}=y_{0}=f\left(0, y_{0}\right)$ ，故 $f(x, y)$ 在 $\left(0, y_{0}\right)$处连续．
结论得证。
（4）显然 $f(x, y)$ 在 $x \neq 0$ 处连续．
对任意 $\displaystyle y_{0} \neq 0, f\left(0, y_{0}\right)=1, \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow y_{0}}} \mathrm{e}^{-x y} \frac{\sin x}{x}=1=f\left(0, y_{0}\right)$ ，故 $f(x, y)$ 在点 $\left(0, y_{0}\right)$ 处连续．
结论得证．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析函数定义与分段点
函数 $f(x,y)$ 在 $x^2+y^2 \neq 0$ 时定义为 $\frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}$，在原点定义为 $0$。需要讨论在原点处的连续性，即判断 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 是否等于 $f(0,0)=0$。
提示：注意分段函数在分段点处的连续性需单独讨论。
步骤 2/8
目标：估计极限并证明连续性
利用不等式 $|\sin(xy)| \leq |xy|$，有 $\left|\frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \leq \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq |x|$（因为 $\frac{|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq 1$）。因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0$，等于 $f(0,0)$，故 $f$ 在原点连续。
公式：$|\sin t| \leq |t|$
提示：注意夹逼准则的使用，以及 $\frac{|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq 1$ 的放缩。
步骤 3/8
目标：分析第二题函数在原点连续性
函数在 $x^2+y^2 \neq 0$ 时定义为 $\frac{x^2-y^2}{x^3-y^3}$，在原点定义为 $0$。判断极限是否存在。
提示：注意分母 $x^3-y^3$ 可因式分解，但需小心路径选择。
步骤 4/8
目标：选取特殊路径证明极限不存在
取路径 $y = kx^2 - x$，代入得 $f(x,y) = \frac{x+y}{x^2+xy+y^2} = \frac{kx}{x^2 + x(kx^2-x) + (kx^2-x)^2} = \frac{k}{kx + (kx-1)^2}$。当 $x\to 0$ 时，极限为 $k$，随 $k$ 变化，故极限不存在，函数在原点不连续。
公式：$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$
提示：路径选取需使分母不为零且极限依赖于参数。
步骤 5/8
目标：分析第三题函数定义域与分段点
定义域 $D = \{(x,y) \mid 1+xy > 0\}$。当 $x \neq 0$ 时 $f(x,y) = \frac{\ln(1+xy)}{x}$；当 $x=0$ 时 $f(0,y)=y$。需证明 $f$ 在 $D$ 上连续，特别在 $x=0$ 的直线上。
提示：注意定义域限制 $1+xy>0$。
步骤 6/8
目标：证明在原点连续
计算 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\ln(1+xy)}{x}$。利用等价无穷小 $\ln(1+u) \sim u$ 当 $u\to 0$，得极限为 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} y = 0$，等于 $f(0,0)=0$，故在原点连续。
公式：$\ln(1+u) \sim u$ 当 $u\to 0$
提示：注意 $x$ 可能为负，但等价无穷小仍适用。
步骤 7/8
目标：证明在 $(0,y_0)$ 处连续（$y_0 \neq 0$）
对任意 $y_0 \neq 0$，$f(0,y_0)=y_0$。计算极限 $\lim_{(x,y)\to(0,y_0)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to(0,y_0)} \frac{\ln(1+xy)}{x}$。改写为 $\lim_{(x,y)\to(0,y_0)} y \cdot \frac{\ln(1+xy)}{xy}$，利用 $\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1$，得极限为 $y_0$，等于函数值，故连续。
公式：$\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1$
提示：注意 $xy\to 0$ 的条件成立。
步骤 8/8
目标：分析第四题函数并证明连续性
函数在 $x \neq 0$ 时定义为 $e^{-xy} \frac{\sin x}{x}$，在 $x=0$ 时定义为 $1$。显然在 $x \neq 0$ 处连续。对任意 $y_0$，考虑 $(0,y_0)$ 处：$f(0,y_0)=1$，极限 $\lim_{(x,y)\to(0,y_0)} e^{-xy} \frac{\sin x}{x} = 1 \cdot 1 = 1$，故连续。
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$
提示：注意 $e^{-xy}$ 在 $(0,y_0)$ 处极限为 $1$。
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