下册 7.1 多元函数的极限与连续 第4题
📝 题目
4．证明下列结论．
（1）证明：函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 分别对每一个变量 $x$ 和 $y$ 是连续的，但不是关于二变量的连续函数．
（2）证明二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 分别对每一个变量连续，但关于二元变量不连续．
💡 答案解析
解题过程：
（1）当 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ 时，$f(x, y)$ 连续．
因 $f(0, y)=0, f(x, 0)=0, \lim _{y \rightarrow 0} f(0, y)=0, \lim _{x \rightarrow 0} f(x, 0)=0$ ，故 $f(x, y)$ 分别对每一个变量 $x$ 和 $y$ 是连续的．
因 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y=k x^{2}}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{k x^{4}}{\left(1+k^{2}\right) x^{4}}=\frac{k}{1+k^{2}}, k$ 取不同的值，极限值不同，所以 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 不存在．于是 $f(x, y)$ 在原点不连续．
（2）当 $y \neq 0$ 时，$\forall x_{0} \in \mathbf{R}$ ，
$$
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{2 x_{0} y}{x_{0}^{2}+y^{2}}=f\left(x_{0}, y\right), \lim _{x \rightarrow 0} f(x, 0)=\lim _{x \rightarrow 0} 0=0=f(0,0),
$$
所以二元函数 $f(x, y)$ 对变量 $x$ 连续．同理可证，二元函数 $f(x, y)$ 对变量 $y$ 连续．
由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x, k x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \cdot k x}{x^{2}+k^{2} x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 k}{1+k^{2}}=\frac{2 k}{1+k^{2}}$ ，极限值随 $k$ 的变化而变化，所以二元函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 不连续，从而函数 $f(x, y)$ 关于二元变量不连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数定义与连续性条件
函数 $f(x,y)$ 在 $(x,y)\neq(0,0)$ 时由分式 $\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ 定义，在 $(0,0)$ 处定义为 $0$。要证明分别对每个变量连续，需验证固定一个变量时，函数作为一元函数连续；要证明不是二元连续，需找到路径使极限不存在。
提示：注意区分一元连续和二元连续的定义。
步骤 2/5
目标：证明对变量 x 连续
固定 $y$，考虑 $f(x,y)$ 作为 $x$ 的函数。当 $y=0$ 时，$f(x,0)=0$ 对所有 $x$ 成立，显然连续。当 $y\neq0$ 时，$f(x,y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ 是初等函数，在 $x\in\mathbb{R}$ 上连续（分母 $x^4+y^2\geq y^2>0$）。特别地，在 $x=0$ 处，$\lim_{x\to 0}f(x,y)=0=f(0,y)$，故对 $x$ 连续。
提示：注意 $y=0$ 时需单独验证，因为分母变为 $x^4$，但分子为0，函数恒为0。
步骤 3/5
目标：证明对变量 y 连续
固定 $x$，类似地。当 $x=0$ 时，$f(0,y)=0$ 连续。当 $x\neq0$ 时，$f(x,y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ 作为 $y$ 的函数，分母 $x^4+y^2\geq x^4>0$，故连续。在 $y=0$ 处，$\lim_{y\to 0}f(x,y)=0=f(x,0)$，故对 $y$ 连续。
提示：注意 $x=0$ 时函数恒为0，无需考虑分母。
步骤 4/5
目标：证明二元函数在原点不连续
考虑路径 $y=kx^2$，其中 $k$ 为常数。沿此路径，$f(x,kx^2)=\frac{x^2\cdot kx^2}{x^4+(kx^2)^2}=\frac{kx^4}{x^4+k^2x^4}=\frac{k}{1+k^2}$。当 $x\to 0$ 时，极限为 $\frac{k}{1+k^2}$，依赖于 $k$。取不同 $k$ 值（如 $k=0$ 得 $0$，$k=1$ 得 $1/2$），极限不同，故重极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 不存在，因此 $f$ 在原点不连续。
公式：沿路径 $y=kx^2$ 的极限：$\lim_{x\to 0}\frac{k}{1+k^2}$
提示：选择路径 $y=kx^2$ 是因为分母 $x^4+y^2$ 在 $y$ 与 $x^2$ 同阶时能消去 $x$ 的幂次，得到非零常数。
步骤 5/5
目标：总结结论
已证明 $f(x,y)$ 分别对 $x$ 和 $y$ 连续，但作为二元函数在 $(0,0)$ 不连续。
提示：该例说明一元连续不能推出二元连续。
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