下册 7.1 多元函数的极限与连续 第5题
📝 题目
5．设 $f(x, y)$ 是定义在 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上的实值连续函数，试证明：$g(x)=\sup \{f(x, y): c \leqslant y \leqslant d\}$ 在 $[a, b]$ 上连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
对任意 $x, x_{0} \in[a, b], y \in[c, d]$ ，
$f(x, y)=f(x, y)-f\left(x_{0}, y\right)+f\left(x_{0}, y\right) \leqslant \sup \left\{f(x, y)-f\left(x_{0}, y\right): c \leqslant y \leqslant d\right\}+\sup \left\{f\left(x_{0}, y\right): c \leqslant y \leqslant d\right\}$.
于是
$$
f(x, y) \leqslant \sup \left\{f(x, y)-f\left(x_{0}, y\right): c \leqslant y \leqslant d\right\}+g\left(x_{0}\right), y \in[c, d]
$$
从而
$$
\sup \{f(x, y): c \leqslant y \leqslant d\} \leqslant \sup \left\{f(x, y)-f\left(x_{0}, y\right): c \leqslant y \leqslant d\right\}+g\left(x_{0}\right)
$$
即
$$
g(x)-g\left(x_{0}\right) \leqslant \sup \left\{\left|f(x, y)-f\left(x_{0}, y\right)\right|: c \leqslant y \leqslant d\right\}
$$
同理
$$
g\left(x_{0}\right)-g(x) \leqslant \sup \left\{\left|f\left(x_{0}, y\right)-f(x, y)\right|: c \leqslant y \leqslant d\right\}
$$
故
$$
\left|g\left(x_{0}\right)-g(x)\right| \leqslant \sup \left\{\left|f\left(x_{0}, y\right)-f(x, y)\right|: c \leqslant y \leqslant d\right\}
$$
由于 $f(x, y)$ 在 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上连续，从而 $f(x, y)$ 在 $D$ 上一致连续，对于任意 $\varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $x, x_{0} \in[a, b],\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $\left|f\left(x_{0}, y\right)-f(x, y)\right|<\varepsilon, y \in[c, d]$ ．故
$$
\left|g\left(x_{0}\right)-g(x)\right| \leqslant \sup \left\{\left|f\left(x_{0}, y\right)-f(x, y)\right|: c \leqslant y \leqslant d\right\} \leqslant \varepsilon
$$
从而 $\left|g\left(x_{0}\right)-g(x)\right| \leqslant \varepsilon$ ，即 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立不等式关系
对任意 $x, x_0 \in [a,b]$ 和 $y \in [c,d]$，将 $f(x,y)$ 分解为 $f(x,y) = f(x,y) - f(x_0,y) + f(x_0,y)$。利用上确界的性质，有
$$f(x,y) \leq \sup\{f(x,y)-f(x_0,y): c \leq y \leq d\} + \sup\{f(x_0,y): c \leq y \leq d\}.$$
记 $g(x)=\sup\{f(x,y): c \leq y \leq d\}$，则上式化为
$$f(x,y) \leq \sup\{|f(x,y)-f(x_0,y)|: c \leq y \leq d\} + g(x_0).$$
公式：上确界的加法性质：$\sup(A+B) \leq \sup A + \sup B$
提示：注意上确界的加法不等式方向，这里用到了 $\sup\{f(x,y)-f(x_0,y)\} \leq \sup\{|f(x,y)-f(x_0,y)|\}$。
步骤 2/6
目标：得到 $g(x)-g(x_0)$ 的上界
对 $y$ 取上确界，得
$$g(x) = \sup\{f(x,y): c \leq y \leq d\} \leq \sup\{|f(x,y)-f(x_0,y)|: c \leq y \leq d\} + g(x_0).$$
移项得
$$g(x)-g(x_0) \leq \sup\{|f(x,y)-f(x_0,y)|: c \leq y \leq d\}.$$
提示：注意上确界的不等式传递性。
步骤 3/6
目标：得到 $g(x_0)-g(x)$ 的上界
同理，交换 $x$ 与 $x_0$ 的角色，可得
$$g(x_0)-g(x) \leq \sup\{|f(x_0,y)-f(x,y)|: c \leq y \leq d\}.$$
提示：对称性推导，注意绝对值内顺序不影响。
步骤 4/6
目标：合并得到绝对值不等式
由以上两个不等式，可得
$$|g(x)-g(x_0)| \leq \sup\{|f(x,y)-f(x_0,y)|: c \leq y \leq d\}.$$
提示：绝对值不等式：$|a| \leq M$ 当且仅当 $a \leq M$ 且 $-a \leq M$。
步骤 5/6
目标：利用一致连续性
由于 $f(x,y)$ 在闭矩形 $D=[a,b]\times[c,d]$ 上连续，从而一致连续。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，对一切 $y\in[c,d]$ 有 $|f(x,y)-f(x_0,y)|<\varepsilon$。因此
$$\sup\{|f(x,y)-f(x_0,y)|: c \leq y \leq d\} \leq \varepsilon.$$
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in D, \|(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\|<\delta \Rightarrow |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续性要求对任意两点，这里只要求 $x$ 坐标变化，$y$ 坐标相同，但一致连续性保证了该性质。
步骤 6/6
目标：证明 $g(x)$ 连续
由前两步，当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|g(x)-g(x_0)| \leq \varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，$g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，从而在 $[a,b]$ 上连续。
公式：连续定义：$\lim_{x\to x_0} g(x)=g(x_0)$
提示：注意 $x_0$ 的任意性，从而得到整体连续性。
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