下册 7.1 多元函数的极限与连续 第6题
📝 题目
6．证明下列各题．
（1）设函数 $f(x, y)$ 在半平面 $x>0$ 内连续，对任意固定的 $y=y_{0}$ ，极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\varphi\left(y_{0}\right)$ 存在，现补充定义 $f(0, y)=\varphi(y)$ 。证明：$f(x, y)$ 在半平面 $x \geqslant 0$ 上连续．
（2）设函数 $z=f(x, y)$ 在矩形闭域 $[a, b] \times[c, d]$ 上连续，$x=\varphi(t)$ 为定义在 $[\alpha, \beta]$ 上其值含于 $[a, b]$ 内的可微函数。令 $F(t, y)=\int_{a}^{\varphi(t)} f(x, y) \mathrm{d} x,(t, y) \in[\alpha, \beta] \times[c, d]$ ．证明：$F$ 在 $[\alpha, \beta] \times[c, d]$ 上连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）分析：只需证明 $\forall y_{0} \in(-\infty,+\infty), f(x, y)$ 在 $\left(0, y_{0}\right)$ 处连续。证明如下：
因为 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\varphi\left(y_{0}\right)$ ，所以 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $00$ 使 $\forall(x, y) \in D$ 有 $|f(x, y)| \leqslant M$ ；
（2）$f(x, y)$ 在 $D$ 一致连续，于是对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{1}>0$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta_{1},\left|y_{1}-y_{2}\right|<\delta_{1}$ 时有 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}, y_{1}\right)-f\left(x_{2}, y_{2}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$ ．特别当 $\left|y-y_{0}\right|<\delta_{1}$ 时，有 $\displaystyle \left|f(x, y)-f\left(x, y_{0}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$ ．
由 $x=\varphi(t)$ 在 $t=t_{0}$ 连续，故对上述的 $\varepsilon, \exists \delta_{2}>0$ ，当 $\left|t-t_{0}\right|<\delta_{2}$ 时有 $\displaystyle \left|\varphi(t)-\varphi\left(t_{0}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{M}$ ．
取 $\delta=\min \left\{\delta_{1}, \delta_{2}\right\}$ ，当 $\left|t-t_{0}\right|<\delta,\left|y-y_{0}\right|<\delta$ 时有
$$
\left|F(t, y)-F\left(t_{0}, y_{0}\right)\right| \leqslant\left|\int_{a}^{\varphi\left(t_{0}\right)} \frac{\varepsilon}{2(b-a)} \mathrm{d} x\right|+M\left|\varphi(t)-\varphi\left(t_{0}\right)\right|<\varepsilon
$$
即 $F(t, y)$ 在点 $\left(t_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．由 $\left(t_{0}, y_{0}\right)$ 的任意性，$F(t, y)$ 在 $D$ 连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确证明目标
要证明补充定义后，函数 $f(x,y)$ 在半平面 $x\geq 0$ 上连续。由于 $x>0$ 时 $f$ 已连续，只需证明在边界 $x=0$ 上每点 $(0,y_0)$ 处连续。
提示：注意连续性需要验证所有点，但 $x>0$ 时已知连续，只需处理边界。
步骤 2/8
目标：利用极限条件得到局部估计
由已知极限 $\lim_{\substack{x\to 0^+\\ y\to y_0}} f(x,y)=\varphi(y_0)=f(0,y_0)$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0
公式：$\lim_{\substack{x\to 0^+\\ y\to y_0}} f(x,y)=\varphi(y_0)$
提示：注意极限是二重极限，$x$ 和 $y$ 同时趋近。
步骤 3/8
目标：证明 $f(0,y)$ 在 $y_0$ 处连续
在上一步中固定 $x$，令 $x\to 0^+$，则对任意 $|y-y_0|<\delta$，有 $|f(0,y)-f(0,y_0)|=|\varphi(y)-\varphi(y_0)|\leq \frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$，所以 $f(0,y)$ 在 $y_0$ 连续。
提示：这里用到了极限的保号性，注意 $\varphi(y)=f(0,y)$。
步骤 4/8
目标：合并得到边界点的连续性
取相同的 $\delta$，当 $0\leq x<\delta$，$|y-y_0|<\delta$ 时，若 $x>0$ 则由第二步得 $|f(x,y)-f(0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$；若 $x=0$ 则由第三步得 $|f(0,y)-f(0,y_0)|<\varepsilon$。因此 $f$ 在 $(0,y_0)$ 连续。
提示：注意 $x=0$ 的情况已包含在第三步中，需统一 $\delta$。
步骤 5/8
目标：完成第一问证明
由 $(0,y_0)$ 的任意性，$f$ 在半平面 $x\geq 0$ 上连续。
提示：总结结论。
步骤 6/8
目标：第二问：写出 $F$ 的差分解
设 $D=[\alpha,\beta]\times[c,d]$，任取 $(t_0,y_0)\in D$，则
$$F(t,y)-F(t_0,y_0)=\int_a^{\varphi(t)}f(x,y)dx-\int_a^{\varphi(t_0)}f(x,y_0)dx$$
$$=\int_a^{\varphi(t_0)}[f(x,y)-f(x,y_0)]dx+\int_{\varphi(t_0)}^{\varphi(t)}f(x,y)dx.$$
提示：注意积分限的拆分，将 $\varphi(t)$ 与 $\varphi(t_0)$ 分开。
步骤 7/8
目标：利用 $f$ 的一致连续性估计第一项
由于 $f$ 在闭矩形 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续，故一致连续且有界。存在 $M>0$ 使得 $|f|\leq M$。对 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，当 $|y-y_0|<\delta_1$ 时，$|f(x,y)-f(x,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$ 对所有 $x$ 成立。于是第一项绝对值 $\leq \int_a^{\varphi(t_0)}\frac{\varepsilon}{2(b-a)}dx \leq \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$|f(x,y)-f(x,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$
提示：一致连续性保证了 $\delta_1$ 与 $x$ 无关。
步骤 8/8
目标：利用 $\varphi$ 的连续性估计第二项
由 $\varphi$ 在 $t_0$ 连续，存在 $\delta_2>0$，当 $|t-t_0|<\delta_2$ 时，$|\varphi(t)-\varphi(t_0)|<\frac{\varepsilon}{M}$。于是第二项绝对值 $\leq M|\varphi(t)-\varphi(t_0)|<\varepsilon$。取 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$，当 $|t-t_0|<\delta$，$|y-y_0|<\delta$ 时，$|F(t,y)-F(t_0,y_0)|<\varepsilon$，故 $F$ 连续。
公式：$|\varphi(t)-\varphi(t_0)|<\frac{\varepsilon}{M}$
提示：注意 $\varphi$ 的值域在 $[a,b]$ 内，积分区间长度有界。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。