下册 7.1 多元函数的极限与连续 第7题
📝 题目
7．证明下列结论．
（1）设二元函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有定义，对 $y$ 连续，对 $x$ 关于 $y$ 一致连续，证明 $f(x, y)$ 在 $D$ 内连续．
（2）若二元函数 $z=f(x, y)$ 在 $D$ 上的两个偏导数 $f_{x}^{\prime}(x, y), f_{y}^{\prime}(x, y)$ 有界，则 $z=f(x, y)$ 在 $D$内连续．
（3）设二元函数 $f(x, y)$ 在 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，对自变量 $x$ 连续，对 $y$ 有有界偏导数，且 $\left|f_{y}(x, y)\right| \leqslant 1$ ，证明 $f(x, y)$ 在 $D$ 内连续．
（4）设 $f(x, y)$ 在 $G=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，若 $f(x, 0)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $f_{y}(x, y)$ 在 $G$上有界，证明 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续．
（5）设 $f(x, y)$ 在 $D \subset \mathbf{R}^{2}$ 上有定义，对自变量 $x$ 连续，对 $y$ 满足 lipschitz 条件，证明 $f(x, y)$ 在 $D$ 内连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\forall P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ ，由于 $f(x, y)$ 对 $x$ 关于 $y$ 一致连续，于是 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{1}(\varepsilon)>0$ ，当 $\left(x^{\prime}, y\right),\left(x^{\prime \prime}, y\right) \in D$ ，且 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta_{1}$ 时有
$$
\left|f\left(x^{\prime}, y\right)-f\left(x^{\prime \prime}, y\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}
$$
又 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 关于变量 $y$ 是连续的，所以对上述 $\varepsilon, \exists \delta_{2}>0$ ，当 $\left|y-y_{0}\right|<\delta_{2}$ 时有
$$
\left|f\left(x_{0}, y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}
$$
取 $0<\delta \leqslant \min \left\{\delta_{1}, \delta_{2}\right\}$ ，并使 $U\left(P_{0}, \delta\right) \subset D$ ，则当 $P(x, y) \in U\left(P_{0}, \delta\right)$ 且 $\left|x-x_{0}\right|<\delta \leqslant \delta_{1},\left|y-y_{0}\right|<\delta \leqslant \delta_{2}$时有
$$
\left|f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \leq\left|f(x, y)-f\left(x_{0}, y\right)\right|+\left|f\left(x_{0}, y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon
$$
因此 $f(x, y)$ 在点 $P_{0}$ 连续．由 $P_{0}$ 的任意性知函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内是连续的．
（2）由已知条件，存在常数 $M>0, \forall(x, y) \in D$ 有 $\left|f_{x}(x, y)\right| \leqslant M,\left|f_{y}(x, y)\right| \leqslant M$ 。设（ $x_{0}, y_{0}$ ）为 $D$内任一点，$\forall(x, y) \in D$ ，由中值定理得
$$
\begin{aligned}
\left|f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| & \leqslant\left|f(x, y)-f\left(x, y_{0}\right)\right|+\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \\
& =\left|f_{y}(x, \xi)\left(y-y_{0}\right)\right|+\left|f_{x}\left(\eta, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\right|
\end{aligned}
$$
$$
\leqslant M\left(\left|x-x_{0}\right|+\left|y-y_{0}\right|\right) \text {, 其中 } \xi \text { 在 } y \text { 与 } y_{0} \text { 之间, } \eta \text { 在 } x \text { 与 } x_{0} \text { 之间. }
$$
对 $\forall \varepsilon>0$ ，取 $\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{2 M}$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta,\left|y-y_{0}\right|<\delta$ 时有
$$
\left|f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|<\varepsilon
$$
即 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．由点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的任意性，$z=f(x, y)$ 在 $D$ 内连续．
（3）设 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $D$ 内任一点。 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 关于变量 $x$ 连续，故对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{1}>0$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta_{1}$ 时有
$$
\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}
$$
$\forall(x, y) \in D$ ，由中值定理
$$
\begin{aligned}
\left|f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| & \leqslant\left|f(x, y)-f\left(x, y_{0}\right)\right|+\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \\
& =\left|f_{y}(x, \xi)\left(y-y_{0}\right)\right|+\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \\
& \leqslant\left|y-y_{0}\right|+\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|, \text { 其中 } \xi \text { 在 } y \text { 与 } y_{0} \text { 之间. }
\end{aligned}
$$
取 $\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{2}$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta,\left|y-y_{0}\right|<\delta$ 时有
$$
\left|f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|<\varepsilon
$$
即 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．由 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的任意性，$z=f(x, y)$ 在 $D$ 内连续．
（4）由（3）得证。
（5）设 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $D$ 内任一点，$\forall(x, y) \in D$ ，由已知得
$$
\left|f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \leqslant\left|f(x, y)-f\left(x, y_{0}\right)\right|+\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \leqslant L\left|y-y_{0}\right|+\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| .
$$
由于函数对变量 $x$ 是连续的，所以 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{1}>0$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta_{1}$ 时有
$$
\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|<\varepsilon
$$
取 $0<\delta \leqslant \min \left\{\delta_{1}, \varepsilon\right\}$ ，则 $\left|x-x_{0}\right|<\delta,\left|y-y_{0}\right|<\delta$ 时有
$$
\begin{aligned}
\mid f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) & \leqslant\left|f(x, y)-f\left(x, y_{0}\right)\right|+\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \\
& \leqslant L\left|y-y_{0}\right|+\left|f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right| \leqslant L \varepsilon+\varepsilon
\end{aligned}
$$
即 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。由 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的任意性，$f(x, y)$ 在 $D$ 内连续。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件并设定点
设 $P_0(x_0, y_0) \in D$ 为任意一点。已知 $f(x, y)$ 对 $y$ 连续，且对 $x$ 关于 $y$ 一致连续。
提示：注意一致连续的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 仅与 $\varepsilon$ 有关，使得当 $|x'-x''|<\delta$ 时，对任意 $y$ 有 $|f(x',y)-f(x'',y)|<\varepsilon$。
步骤 2/5
目标：利用一致连续性得到第一个不等式
由 $f(x, y)$ 对 $x$ 关于 $y$ 一致连续，对 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，使得当 $|x'-x''|<\delta_1$ 时，对任意 $y$ 有 $|f(x',y)-f(x'',y)|<\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$|f(x',y)-f(x'',y)|<\frac{\varepsilon}{2}$
提示：这里取 $\frac{\varepsilon}{2}$ 是为了后续三角不等式求和。
步骤 3/5
目标：利用对 y 的连续性得到第二个不等式
由 $f(x, y)$ 对 $y$ 连续，特别地在 $(x_0, y_0)$ 处对 $y$ 连续，存在 $\delta_2>0$，使得当 $|y-y_0|<\delta_2$ 时，有 $|f(x_0, y)-f(x_0, y_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$|f(x_0, y)-f(x_0, y_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$
提示：注意这里固定 $x=x_0$，利用 $f(x_0, y)$ 关于 $y$ 的连续性。
步骤 4/5
目标：选取公共邻域并估计差值
取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，使得 $U(P_0, \delta) \subset D$。当 $|x-x_0|<\delta$ 且 $|y-y_0|<\delta$ 时，有
\[
|f(x,y)-f(x_0,y_0)| \le |f(x,y)-f(x_0,y)| + |f(x_0,y)-f(x_0,y_0)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
\]
公式：$|f(x,y)-f(x_0,y_0)| \le |f(x,y)-f(x_0,y)| + |f(x_0,y)-f(x_0,y_0)|$
提示：三角不等式是关键，注意中间项 $f(x_0,y)$ 的添加。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $\varepsilon$ 的任意性，$f$ 在 $P_0$ 处连续。由 $P_0$ 的任意性，$f$ 在 $D$ 内连续。
提示：注意 $\delta$ 的选取要保证 $(x,y)$ 在 $D$ 内。
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