下册 7.1 多元函数的极限与连续 第11题
📝 题目
11．证明下列命题．
（1）设 $\mathbf{R}^{2}$ 上的函数 $f(x, y)$ 在 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内连续，且 $\forall(u, v) \in \partial D$ ，存在 $\delta>0$ ，使得 $f(x, y)$ 在 $\left\{(x, y) \mid(x-u)^{2}+(y-v)^{2}<\delta^{2}\right\}$ 内有界。证明：$f(x, y)$ 在 $\bar{D}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上是有界的．
（2）设 $f(x, y)$ 在闭矩形 $[0,1 ; 0,1]$ 上有意义，若对于 $\forall x_{0} \in[0,1], f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, 0\right)$ 连续，证明 $\exists \delta>0$ ，使 $f(x, y)$ 在矩形 $[0,1 ; 0, \delta]$ 上有界．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）假设函数 $f(x, y)$ 在 $\bar{D}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上无界。对 $\forall \delta>0$ ，由于函数 $f(x, y)$ 在 $D^{\prime}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1-\delta\right\}$ 内连续，从而函数 $f(x, y)$ 在 $D^{\prime}$ 内有界．故函数 $f(x, y)$ 在 $D^{\prime \prime}=\left\{(x, y) \mid 1-\delta0, \forall(x, y) \in[0,1 ; 0,1]$ ，当 $\left|x-x_{0}\right| \leqslant \delta,|y-0| \leqslant \delta$时，有
$$
\left|f(x, y)-f\left(x_{0}, 0\right)\right| \leqslant 1 \text {, 即 }|f(x, y)| \leqslant 1+\left|f\left(x_{0}, 0\right)\right| \text {, }
$$
所以 $f(x, y)$ 在矩形 $[0,1 ; 0, \delta]$ 上有界．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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