下册 7.1 多元函数的极限与连续 第12题
📝 题目
12．证明：$f(x, y)$ 在有界开区域 $D$ 内一致连续，则它在 $D$ 内有界．（郑州大学2011（ $D$ 为单位圆），广西民大2007）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $I=D \cup \partial D$ ，则 $I$ 为有界闭集．它对应的延拓函数 $f(x, y)$ 必有界．倘若不然，则对每个正整数 $n$ ，必存在点 $P_{n} \in D$ ，使得
$$
\left|f\left(P_{n}\right)\right|>n, n=1,2, \cdots
$$
于是得到一个有界点列 $\left\{P_{n}\right\} \subset I$ ，且总能使 $\left\{P_{n}\right\}$ 中有无穷多个不同的点，因此数列 $\left\{P_{n}\right\}$ 存在收玫的子列 $\left\{P_{n_{k}}\right\}$ 。设 $\lim _{k \rightarrow \infty} P_{n_{1}}=P_{0}$ ，且因 $I$ 是闭域，从而 $P_{0} \in I$ 。
由于函数 $f(x, y)$ 在 $I$ 上连续，当然在点 $P_{0}$ 也连续，因此有 $\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(P_{n_{k}}\right)=f\left(P_{0}\right)$ ．这与 $\left|f\left(P_{n}\right)\right|>n, n=1,2, \cdots$ 相矛盾．所以 $f(x, y)$ 是 $I$ 上的有界函数，从而 $f(x, y)$ 在 $D$ 内有界．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造有界闭区域
记 $I = D \cup \partial D$，其中 $\partial D$ 是 $D$ 的边界。由于 $D$ 是有界开区域，其闭包 $I$ 是有界闭集。
提示：注意 $D$ 是有界开区域，其闭包 $I$ 是有界闭集，这是后续使用聚点定理的基础。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设 $f(x,y)$ 在 $D$ 内无界，则对每个正整数 $n$，存在点 $P_n \in D$，使得 $|f(P_n)| > n$，$n=1,2,\cdots$。
提示：无界的定义：对任意大的正数，都存在函数值超过该数的点。
步骤 3/6
目标：构造有界点列并取子列
点列 $\{P_n\} \subset D \subset I$，且 $I$ 有界，故 $\{P_n\}$ 是有界点列。由于 $\{P_n\}$ 中有无穷多个不同的点（否则 $f$ 有界），由聚点定理（Bolzano-Weierstrass定理），存在收敛子列 $\{P_{n_k}\}$，设 $\lim_{k\to\infty} P_{n_k} = P_0$。因 $I$ 是闭集，故 $P_0 \in I$。
提示：注意点列中可能有重复点，但若只有有限个不同点，则 $f$ 有界，矛盾。因此可假设有无穷多个不同点。
步骤 4/6
目标：利用一致连续性推出连续性
由于 $f$ 在 $D$ 内一致连续，且 $D$ 是开区域，但 $f$ 在 $I$ 上不一定有定义。然而，我们可以将 $f$ 延拓到 $I$ 上：对任意 $P \in \partial D$，定义 $f(P) = \lim_{Q \to P, Q \in D} f(Q)$（由一致连续性，该极限存在且与路径无关）。这样 $f$ 在 $I$ 上连续。
提示：一致连续保证边界点处的极限存在，从而可以连续延拓。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
由 $f$ 在 $I$ 上连续，在 $P_0$ 处连续，故 $\lim_{k\to\infty} f(P_{n_k}) = f(P_0)$。但由假设 $|f(P_{n_k})| > n_k$，且 $n_k \to \infty$，所以 $|f(P_{n_k})| \to \infty$，与极限存在矛盾。
提示：注意 $n_k$ 是子列下标，随着 $k$ 增大趋于无穷。
步骤 6/6
目标：结论
因此假设不成立，$f(x,y)$ 在 $D$ 内有界。
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