下册 7.1 多元函数的极限与连续 第13题
📝 题目
13．证明下列命题．
（1）设 $f(x, y)$ 在有界闭域 $D$ 上连续，用致密性定理证明：$f(x, y)$ 在 $D$ 上一致连续．
（2）设 $D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界闭集，$f(x, y)$ 是 $D$ 上的连续函数，证明：$f(x, y)$ 在 $D$ 上有界，且一定取到最大值和最小值．
💡 答案解析
\section*{注：证明参见数学分析教材。}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明一致连续性：反证法假设
假设 $f(x,y)$ 在 $D$ 上不一致连续，则存在 $ε_0>0$，使得对任意 $δ>0$，存在两点 $P_k=(x_k,y_k), Q_k=(u_k,v_k) \in D$，满足 $|P_kQ_k|<1/k$ 但 $|f(P_k)-f(Q_k)|\ge ε_0$。取 $δ=1/k$，得到点列 $\{P_k\}$ 和 $\{Q_k\}$。
提示：注意不一致连续的定义：存在某个正数ε0，使得无论δ多小，都能找到距离小于δ但函数值差大于等于ε0的两点。
步骤 2/7
目标：应用致密性定理
由于 $D$ 是有界闭集，点列 $\{P_k\}$ 有界，由致密性定理（Bolzano-Weierstrass定理），存在收敛子列 $\{P_{k_j}\}$ 收敛于 $P_0 \in D$（因为 $D$ 闭）。同时，$|P_{k_j}Q_{k_j}|<1/k_j \to 0$，故 $Q_{k_j}$ 也收敛于 $P_0$。
提示：致密性定理：有界数列必有收敛子列。注意D是闭集，所以极限点属于D。
步骤 3/7
目标：利用连续性导出矛盾
由 $f$ 在 $D$ 上连续，在 $P_0$ 处连续，故 $\lim_{j\to\infty} f(P_{k_j}) = f(P_0)$，$\lim_{j\to\infty} f(Q_{k_j}) = f(P_0)$。从而 $\lim_{j\to\infty} [f(P_{k_j})-f(Q_{k_j})] = 0$。但由假设 $|f(P_{k_j})-f(Q_{k_j})| \ge ε_0$，矛盾。因此 $f$ 在 $D$ 上一致连续。
提示：注意极限的保号性：如果数列极限为0，则对于任意正数，最终项绝对值小于该正数，与恒大于ε0矛盾。
步骤 4/7
目标：证明有界性：反证法
假设 $f$ 在 $D$ 上无界，则对任意正整数 $n$，存在点 $P_n \in D$ 使得 $|f(P_n)| > n$。于是得到点列 $\{P_n\}$。
提示：无界的定义：对任意M>0，存在点使得|f|>M。这里取M=n。
步骤 5/7
目标：应用致密性定理得到收敛子列
由于 $D$ 有界闭，点列 $\{P_n\}$ 有界，由致密性定理，存在收敛子列 $\{P_{n_k}\}$ 收敛于 $P_0 \in D$。
提示：同前，注意D闭保证极限点属于D。
步骤 6/7
目标：利用连续性导出矛盾
由 $f$ 连续，$\lim_{k\to\infty} f(P_{n_k}) = f(P_0)$，故 $\{f(P_{n_k})\}$ 收敛，从而有界。但由构造 $|f(P_{n_k})| > n_k \to \infty$，矛盾。因此 $f$ 在 $D$ 上有界。
提示：收敛数列必有界，而构造的数列无界，矛盾。
步骤 7/7
目标：证明最大值和最小值存在
由有界性，设 $M = \sup\{f(x,y): (x,y)\in D\}$，$m = \inf\{f(x,y): (x,y)\in D\}$。需证存在点使得函数值等于 $M$ 和 $m$。由上确界定义，存在点列 $\{P_n\}$ 使得 $f(P_n) \to M$。由致密性定理，存在子列 $\{P_{n_k}\}$ 收敛于 $P_0 \in D$。由连续性，$f(P_0) = \lim f(P_{n_k}) = M$，故最大值取到。同理可证最小值。
提示：注意上确界定义：存在点列函数值趋近于上确界。致密性定理保证子列收敛，连续性保证极限等于函数值。
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