下册 7.2 多元函数的可微性 第1题
📝 题目
1．求下列函数的偏导数．
（1）设 $\displaystyle z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $z_{x}, z_{x y}$ 。（中南大学 2001，深圳大学 2004（求 d $z$ ），广西民大 2008，哈师大 2000，山东科技 2006，沈阳工大 2010）
（2）设 $\displaystyle z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $z_{y}, z_{y y}, z_{x y}$ 。延安大学 2005，西安交大 2007（求 $\mathrm{d}^{2} z$ ），大连理工 2009，上海理工 2005，桂林电子科技 2010，南开大学 2004，曲阜师大 2010）
（3）设 $\displaystyle z=x^{n} f\left(x y, \frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $z_{x}, z_{y}, z_{x y} .(n=3:$ 云南大学 2004 ，太原科技 2008；$n=2$ ：湖南师大 2008）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
用 $f_{i}$ 表示函数 $f$ 对第 $i$ 个中间变量的偏导数，$f_{i j}$ 分别表示函数 $f_{i}$ 对第 $j$ 个中间变量的偏导数．
（1）令 $\displaystyle u=x, v=\frac{x}{y}$ ，则 $z=f(u, v)$ ．
$$
\begin{aligned}
& z_{x}=f_{u} \cdot u_{x}+f_{v} \cdot v_{x}=f_{u}+\frac{1}{y} f_{v} . \\
& z_{x y}=\left(f_{u}+\frac{1}{y} f_{v}\right)_{y}=f_{u u} \cdot u_{y}+f_{u v} \cdot v_{y}-\frac{1}{y^{2}} f_{v}+\frac{1}{y}\left(f_{v u} \cdot u_{y}+f_{v v} \cdot v_{y}\right)=-\frac{x}{y^{2}} f_{u v}-\frac{1}{y^{2}} f_{v}-\frac{x}{y^{3}} f_{v v} .
\end{aligned}
$$
（2）记 $\displaystyle u=x y, v=\frac{x}{y}$ ，则
$\displaystyle z_{x}=f_{u} \cdot u_{x}+f_{v} \cdot v_{x}=y f_{u}+\frac{1}{y} f_{v} ; z_{y}=f_{u} \cdot u_{y}+f_{v} \cdot v_{y}=x f_{u}-\frac{x}{y^{2}} f_{v}$.
$\displaystyle z_{x y}=\left(y f_{u}+\frac{1}{y} f_{v}\right)_{y}=f_{u}+y f_{u u} \cdot u_{y}+y f_{u v} \cdot v_{y}-\frac{1}{y^{2}} f_{v}+\frac{1}{y}\left(f_{v u} \cdot u_{y}+f_{v v} \cdot v_{y}\right)=f_{u}-\frac{1}{y^{2}} f_{v}+x y f_{u u}-\frac{x}{y^{3}} f_{v v}$.
$\displaystyle z_{y y}=\left(x f_{u}-\frac{x}{y^{2}} f_{v}\right)_{y}=x f_{u u} \cdot u_{y}+x f_{u v} \cdot v_{y}+\frac{2 x}{y^{3}} f_{v}-\frac{x}{y^{2}}\left(f_{v u} \cdot u_{y}+f_{v v} \cdot v_{y}\right)=\frac{2 x}{y^{3}} f_{v}+x^{2} f_{u u}-\frac{2 x^{2}}{y^{2}} f_{u v}+\frac{x^{2}}{y^{4}} f_{v v}$ ．
（3）由微分形式不变性．得
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} z & =f \cdot n x^{n-1} \mathrm{~d} x+x^{n} \mathrm{~d} f=n x^{n-1} f \mathrm{~d} x+x^{n}\left(f_{1} \mathrm{~d}(x y)+f_{2} \mathrm{~d}\left(\frac{y}{x}\right)\right) \\
& =n x^{n-1} f \mathrm{~d} x+x^{n}\left(f_{1}(x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x)+f_{2} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}}\right) \\
& =\left(n x^{n-1} f+x^{n} y f_{1}-x^{n-2} y f_{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{n+1} f_{1}+x^{n-1} f_{2}\right) \mathrm{d} y
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
z_{x} & =n x^{n-1} f+x^{n} y f_{1}-x^{n-2} y f_{2}, z_{y}=x^{n+1} f_{1}+x^{n-1} f_{2} . \\
z_{x y} & =n x^{n-1}\left(x f_{1}+\frac{1}{x} f_{2}\right)+x^{n} f_{1}+x^{n} y\left(x f_{11}+\frac{1}{x} f_{12}\right)-x^{n-2} f_{2}-x^{n-2} y\left(x f_{21}+\frac{1}{x} f_{22}\right) \\
& =(n+1) x^{n} f_{1}+\left(x^{-1}-x^{n-2}\right) f_{2}+x^{n+1} y f_{11}-x^{n-3} y f_{22} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入中间变量并求一阶偏导
令 $u = x$, $v = \frac{x}{y}$，则 $z = f(u, v)$。由链式法则，
$$z_x = f_u \cdot u_x + f_v \cdot v_x = f_u \cdot 1 + f_v \cdot \frac{1}{y} = f_u + \frac{1}{y} f_v.$$
公式：链式法则：$z_x = f_u u_x + f_v v_x$
提示：注意 $v_x = \frac{1}{y}$，不要漏掉系数。
步骤 2/7
目标：求混合偏导 $z_{xy}$
对 $z_x$ 关于 $y$ 求偏导，注意 $f_u$ 和 $f_v$ 仍是 $u$ 和 $v$ 的函数，而 $u_y = 0$, $v_y = -\frac{x}{y^2}$。
$$\begin{aligned} z_{xy} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(f_u + \frac{1}{y} f_v\right) \\ &= f_{uu} u_y + f_{uv} v_y - \frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y} (f_{vu} u_y + f_{vv} v_y) \\ &= f_{uu} \cdot 0 + f_{uv} \left(-\frac{x}{y^2}\right) - \frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y} \left(f_{vu} \cdot 0 + f_{vv} \left(-\frac{x}{y^2}\right)\right) \\ &= -\frac{x}{y^2} f_{uv} - \frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv}. \end{aligned}$$
公式：混合偏导的链式法则：$\frac{\partial}{\partial y} (f_u) = f_{uu} u_y + f_{uv} v_y$
提示：注意 $f_{uv} = f_{vu}$（二阶连续偏导），但书写时保持顺序；不要忘记对 $\frac{1}{y}$ 求导产生的项。
步骤 3/7
目标：引入中间变量并求一阶偏导（第二题）
令 $u = xy$, $v = \frac{x}{y}$，则 $z = f(u, v)$。
$$z_x = f_u \cdot u_x + f_v \cdot v_x = f_u \cdot y + f_v \cdot \frac{1}{y} = y f_u + \frac{1}{y} f_v,$$
$$z_y = f_u \cdot u_y + f_v \cdot v_y = f_u \cdot x + f_v \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = x f_u - \frac{x}{y^2} f_v.$$
公式：链式法则
提示：注意 $v_y = -\frac{x}{y^2}$，符号不要错。
步骤 4/7
目标：求混合偏导 $z_{xy}$（第二题）
对 $z_x$ 关于 $y$ 求偏导：
$$\begin{aligned} z_{xy} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(y f_u + \frac{1}{y} f_v\right) \\ &= f_u + y (f_{uu} u_y + f_{uv} v_y) - \frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y} (f_{vu} u_y + f_{vv} v_y) \\ &= f_u + y\left(f_{uu} \cdot x + f_{uv} \left(-\frac{x}{y^2}\right)\right) - \frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y}\left(f_{vu} \cdot x + f_{vv} \left(-\frac{x}{y^2}\right)\right) \\ &= f_u - \frac{1}{y^2} f_v + x y f_{uu} - \frac{x}{y^3} f_{vv}. \end{aligned}$$
公式：混合偏导链式法则
提示：注意 $f_{uv}$ 和 $f_{vu}$ 合并时系数，这里 $f_{uv}$ 项抵消了。
步骤 5/7
目标：求二阶偏导 $z_{yy}$（第二题）
对 $z_y$ 关于 $y$ 求偏导：
$$\begin{aligned} z_{yy} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(x f_u - \frac{x}{y^2} f_v\right) \\ &= x (f_{uu} u_y + f_{uv} v_y) + \frac{2x}{y^3} f_v - \frac{x}{y^2} (f_{vu} u_y + f_{vv} v_y) \\ &= x\left(f_{uu} \cdot x + f_{uv} \left(-\frac{x}{y^2}\right)\right) + \frac{2x}{y^3} f_v - \frac{x}{y^2}\left(f_{vu} \cdot x + f_{vv} \left(-\frac{x}{y^2}\right)\right) \\ &= \frac{2x}{y^3} f_v + x^2 f_{uu} - \frac{2x^2}{y^2} f_{uv} + \frac{x^2}{y^4} f_{vv}. \end{aligned}$$
公式：二阶偏导链式法则
提示：注意 $\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{x}{y^2}\right) = \frac{2x}{y^3}$，符号不要错。
步骤 6/7
目标：利用微分形式不变性求一阶偏导（第三题）
设 $z = x^n f(u, v)$，其中 $u = xy$, $v = \frac{y}{x}$。求全微分：
$$\begin{aligned} \mathrm{d}z &= n x^{n-1} f \mathrm{d}x + x^n \mathrm{d}f \\ &= n x^{n-1} f \mathrm{d}x + x^n (f_1 \mathrm{d}u + f_2 \mathrm{d}v) \\ &= n x^{n-1} f \mathrm{d}x + x^n \left[ f_1 (y \mathrm{d}x + x \mathrm{d}y) + f_2 \left(\frac{1}{x} \mathrm{d}y - \frac{y}{x^2} \mathrm{d}x\right) \right] \\ &= \left( n x^{n-1} f + x^n y f_1 - x^{n-2} y f_2 \right) \mathrm{d}x + \left( x^{n+1} f_1 + x^{n-1} f_2 \right) \mathrm{d}y. \end{aligned}$$
公式：全微分形式不变性：$\mathrm{d}z = z_x \mathrm{d}x + z_y \mathrm{d}y$
提示：注意 $\mathrm{d}v = \frac{\partial v}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial v}{\partial y} \mathrm{d}y = -\frac{y}{x^2} \mathrm{d}x + \frac{1}{x} \mathrm{d}y$。
步骤 7/7
目标：求混合偏导 $z_{xy}$（第三题）
由 $z_x = n x^{n-1} f + x^n y f_1 - x^{n-2} y f_2$，对 $y$ 求偏导，注意 $f$ 的偏导：$f_y = f_1 u_y + f_2 v_y = f_1 \cdot x + f_2 \cdot \frac{1}{x}$，$f_{1y} = f_{11} u_y + f_{12} v_y = x f_{11} + \frac{1}{x} f_{12}$，$f_{2y} = f_{21} u_y + f_{22} v_y = x f_{21} + \frac{1}{x} f_{22}$。
$$\begin{aligned} z_{xy} &= n x^{n-1} f_y + x^n f_1 + x^n y f_{1y} - x^{n-2} f_2 - x^{n-2} y f_{2y} \\ &= n x^{n-1} \left( x f_1 + \frac{1}{x} f_2 \right) + x^n f_1 + x^n y \left( x f_{11} + \frac{1}{x} f_{12} \right) - x^{n-2} f_2 - x^{n-2} y \left( x f_{21} + \frac{1}{x} f_{22} \right) \\ &= (n+1) x^n f_1 + (n x^{n-2} - x^{n-2}) f_2 + x^{n+1} y f_{11} - x^{n-3} y f_{22} \\ &= (n+1) x^n f_1 + (n-1) x^{n-2} f_2 + x^{n+1} y f_{11} - x^{n-3} y f_{22}. \end{aligned}$$
公式：链式法则求偏导
提示：注意 $f_{12} = f_{21}$，但这里 $f_{12}$ 和 $f_{21}$ 项系数不同，实际上 $f_{12}$ 项来自 $x^n y \cdot \frac{1}{x} f_{12}$ 和 $-x^{n-2} y \cdot x f_{21}$，两者合并为 $x^{n-1} y (f_{12} - f_{21}) = 0$，所以最终没有 $f_{12}$ 项。
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