下册 7.2 多元函数的可微性 第2题
📝 题目
2．求下列函数的偏导数．
（1）设 $z=f(x+y, x y)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $z_{y}, z_{y y}, z_{x y}$ 。延安大学 2006，辽宁大学 2004／2002，沈阳工大2011，武汉大学2012，温州大学2010）
（2）设 $z=f\left(x y^{2}, x^{2} y\right)$ ，求 $z_{x x}, z_{y y}, z_{x y}$ ，其中函数 $f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数．
（3）设 $z=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $z_{x}, z_{y}, z_{x y}$ 。
（4）设 $u=f(x-y, y-z, z-x)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $u_{x x}, u_{x y}, u_{z y}$ 。
（5）$u(x, y)=y g(\cos x)+f\left(\mathrm{e}^{x}, x y\right)$ ，其中 $g, f$ 二阶可微，求 $u_{x}, u_{x y}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
用 $f_{i}$ 表示函数 $f$ 对第 $i$ 个中间变量的偏导数，$f_{i j}$ 分别表示函数 $f_{i}$ 对第 $j$ 个中间变量的偏导数．
（1）$z_{x}=f_{1}+f_{2} y, \quad z_{y}=f_{1}+x f_{2}$ 。
$$
\begin{aligned}
& z_{x y}=\left(f_{1}+y f_{2}\right)_{y}=\frac{\partial f_{1}}{\partial y}+f_{2}+y \frac{\partial f_{2}}{\partial y}=f_{11}+f_{12} \cdot x+f_{2}+y\left(f_{21}+f_{22} \cdot x\right)=f_{11}+(x+y) f_{12}+f_{2}+x y f_{22} \cdot \\
& z_{y y}=\left(f_{1}+x f_{2}\right)_{y}=f_{11}+x f_{12}+x\left(f_{21}+x f_{22}\right)=f_{11}+2 x f_{12}+x^{2} f_{22} .
\end{aligned}
$$
（2）记 $u=x y^{2}, v=x^{2} y$ ，则
$$
\begin{aligned}
z_{x}= & f_{u} \cdot u_{x}+f_{v} \cdot v_{x}=y^{2} f_{u}+2 x y f_{v} ; z_{y}=f_{u} \cdot u_{y}+f_{v} \cdot v_{y}=2 x y f_{u}+x^{2} f_{v} . \\
z_{x u}= & y^{2}\left(f_{u u} \cdot u_{x}+f_{u v} \cdot v_{x}\right)+2 y f_{v}+2 x y\left(f_{v u} \cdot u_{x}+f_{v v} \cdot v_{x}\right) \\
= & y^{2}\left(f_{u u} \cdot y^{2}+f_{u v} \cdot 2 x y\right)+2 y f_{v}+2 x y\left(f_{v u} \cdot y^{2}+f_{v v} \cdot 2 x y\right)=y^{4} f_{u u}+4 x y^{3} f_{u v}+2 y f_{v}+4 x^{2} y^{2} f_{v v} \cdot \\
z_{x y} & =2 y f_{u}+y^{2}\left(f_{u u} \cdot u_{y}+f_{u v} \cdot v_{y}\right)+2 x f_{v}+2 x y\left(f_{v u} \cdot u_{y}+f_{v v} \cdot v_{y}\right) \\
& =2 y f_{u}+y^{2}\left(2 x y f_{u u}+x^{2} f_{u v}\right)+2 x f_{v}+2 x y\left(f_{v u} \cdot 2 x y+f_{v v} \cdot x^{2}\right) \\
& =2 y f_{u}+2 x f_{v}+2 x y^{3} f_{u u}+5 x^{2} y^{2} f_{u v}+2 x^{3} y f_{v v} \cdot \\
z_{y y} & =2 x f_{u}+2 x y\left(f_{u u} \cdot u_{y}+f_{u v} \cdot v_{y}\right)+x^{2}\left(f_{v u} \cdot u_{y}+f_{v v} \cdot v_{y}\right) \\
& =2 x f_{u}+2 x y\left(f_{u u} \cdot 2 x y+f_{u v} \cdot x^{2}\right)+x^{2}\left(f_{v u} \cdot 2 x y+f_{v v} \cdot x^{2}\right)=2 x f_{u}+4 x^{2} y^{2} f_{u u}+4 x^{3} y f_{u v}+x^{4} f_{v v} \cdot
\end{aligned}
$$
（3）$z_{x}=f_{1} \cdot\left(x^{2}-y^{2}\right)_{x}+f_{2} \cdot\left(\mathrm{e}^{x y}\right)_{x}=2 x f_{1}+y \mathrm{e}^{x y} f_{2}$ ，
$$
\begin{aligned}
z_{y} & =f_{1} \cdot\left(x^{2}-y^{2}\right)_{y}+f_{2} \cdot\left(\mathrm{e}^{x y}\right)_{y}=-2 y f_{1}+x \mathrm{e}^{x y} f_{2} . \\
z_{x y} & =\left(2 x f_{1}+y \mathrm{e}^{x y} f_{2}\right)_{y}=2 x\left(-2 y f_{11}+x \mathrm{e}^{x y} f_{12}\right)+\mathrm{e}^{x y} f_{2}+x y \mathrm{e}^{x y} f_{2}+y \mathrm{e}^{x y}\left(-2 y f_{21}+x \mathrm{e}^{x y} f_{22}\right) \\
& =-4 x y f_{11}+2\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{e}^{x y} f_{12}+(1+x y) \mathrm{e}^{x y} f_{2}+x y \mathrm{e}^{2 x y} f_{22}
\end{aligned}
$$
（4）$u_{x}=f_{1}-f_{3}, u_{z}=-f_{2}+f_{3}$ ．
$$
\begin{aligned}
& u_{x x}=f_{11}-f_{13}-f_{31}+f_{33}=f_{11}-2 f_{13}+f_{33}, \\
& u_{x y}=-f_{11}+f_{12}+f_{31}-f_{32}, \\
& u_{z y}=f_{21}-f_{22}-f_{31}+f_{32} .
\end{aligned}
$$
（5）$u_{x}=-y \sin x g^{\prime}+\mathrm{e}^{x} f_{1}+y f_{2}$ ．
$$
u_{x y}=\left(-y \sin x \cdot g^{\prime}+\mathrm{e}^{x} f_{1}+y f_{2}\right)_{y}=-\sin x \cdot g^{\prime}+x \mathrm{e}^{x} f_{12}+f_{2}+x y f_{22} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入偏导数记号
设 $f$ 具有二阶连续偏导数，记 $f_1$ 为 $f$ 对第一个中间变量的偏导数，$f_2$ 为对第二个中间变量的偏导数，$f_{11}, f_{12}, f_{22}$ 为相应的二阶偏导数。
提示：注意 $f_{12}=f_{21}$ 由于连续性。
步骤 2/4
目标：求一阶偏导数 $z_x, z_y$
令 $u=x+y$, $v=xy$，则 $z=f(u,v)$。由链式法则：
$z_x = f_u \cdot u_x + f_v \cdot v_x = f_1 \cdot 1 + f_2 \cdot y = f_1 + y f_2$。
$z_y = f_u \cdot u_y + f_v \cdot v_y = f_1 \cdot 1 + f_2 \cdot x = f_1 + x f_2$。
公式：链式法则：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$
提示：注意中间变量 $u$ 和 $v$ 的偏导：$u_x=1, u_y=1, v_x=y, v_y=x$。
步骤 3/4
目标：求二阶偏导数 $z_{yy}$
对 $z_y = f_1 + x f_2$ 再对 $y$ 求偏导：
$z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(f_1) + x \frac{\partial}{\partial y}(f_2)$。
其中 $\frac{\partial f_1}{\partial y} = f_{11} \cdot u_y + f_{12} \cdot v_y = f_{11} \cdot 1 + f_{12} \cdot x = f_{11} + x f_{12}$。
$\frac{\partial f_2}{\partial y} = f_{21} \cdot u_y + f_{22} \cdot v_y = f_{21} \cdot 1 + f_{22} \cdot x = f_{21} + x f_{22}$。
因此 $z_{yy} = (f_{11} + x f_{12}) + x (f_{21} + x f_{22}) = f_{11} + 2x f_{12} + x^2 f_{22}$。
提示：注意 $f_{12}=f_{21}$，合并同类项。
步骤 4/4
目标：求混合偏导数 $z_{xy}$
对 $z_x = f_1 + y f_2$ 再对 $y$ 求偏导：
$z_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(f_1) + f_2 + y \frac{\partial}{\partial y}(f_2)$。
$\frac{\partial f_1}{\partial y} = f_{11} + x f_{12}$，$\frac{\partial f_2}{\partial y} = f_{21} + x f_{22}$。
代入得：$z_{xy} = (f_{11} + x f_{12}) + f_2 + y (f_{21} + x f_{22}) = f_{11} + (x+y) f_{12} + f_2 + xy f_{22}$。
提示：注意 $z_x$ 中 $y$ 出现在 $y f_2$ 项，求导时需用乘积法则。
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