下册 7.2 多元函数的可微性 第4题
📝 题目
4．计算．
（1）已知 $\displaystyle u(x, t)=\frac{f(x+a t)+f(x-a t)}{2}+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} F(\alpha) \mathrm{d} \alpha$ ，其中 $f, F$ 分别为求导一次和求导两次的已知函数，计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, u=\frac{1}{\rho}(\varphi(\rho-a t)+\psi(\rho+a t))$ ，其中，$\varphi, \psi$ 二阶可微，试求： $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)$.
💡 答案解析
解题过程：
（1）由题设知 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ 均存在，且有
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial t} & =\frac{1}{2}\left(f^{\prime}(x+a t) \cdot a+f^{\prime}(x-a t)(-a)\right)+\frac{1}{2 a}(a F(x+a t)+a F(x-a t)) \\
& =\frac{a}{2}\left(f^{\prime}(x+a t)-f^{\prime}(x-a t)\right)+\frac{1}{2}(F(x+a t)+F(x-a t))
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{a}{2}\left(a f^{\prime \prime}(x+a t)+a f^{\prime \prime}(x-a t)\right)+\frac{a}{2}\left(F^{\prime}(x+a t)-F^{\prime}(x-a t)\right) . \\
& \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{1}{2}\left(f^{\prime \prime}(x+a t)+f^{\prime \prime}(x-a t)\right)+\frac{1}{2 a}\left(F^{\prime}(x+a t)-F^{\prime}(x-a t)\right) .
\end{aligned}
$$
于是 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}=0$ ．
$$
\begin{aligned}
& \text { (2) } u_{t}=\frac{1}{\rho}\left(-a \varphi^{\prime}+a \psi^{\prime}\right), u_{t t}=a^{2} \rho^{-1}\left(\varphi^{\prime \prime}+\psi^{\prime \prime}\right) \\
& u_{x}=-\frac{1}{\rho^{2}} \frac{x}{\rho}(\varphi+\psi)+\frac{1}{\rho}\left(\varphi^{\prime} \cdot \frac{x}{\rho}+\psi^{\prime} \cdot \frac{x}{\rho}\right)=-\frac{x}{\rho^{3}}(\varphi+\psi)+\frac{x}{\rho^{2}}\left(\varphi^{\prime}+\psi^{\prime}\right)=x \rho^{-3}\left(\rho\left(\varphi^{\prime}+\psi^{\prime}\right)-(\varphi+\psi)\right) \\
& u_{x x}=\left(\rho^{-3}-3 x \rho^{-4} \frac{x}{\rho}\right)\left(\rho\left(\varphi^{\prime}+\psi^{\prime}\right)-(\varphi+\psi)\right)+x \rho^{-3}\left(\frac{x}{\rho}\left(\varphi^{\prime}+\psi^{\prime}\right)+\rho\left(\varphi^{\prime \prime} \cdot \frac{x}{\rho}+\psi^{\prime \prime} \cdot \frac{x}{\rho}\right)-\frac{x}{\rho}\left(\varphi^{\prime}+\psi^{\prime}\right)\right) \\
& =\rho^{-3}\left(1-3 x^{2} \rho^{-2}\right)\left(\rho\left(\varphi^{\prime}+\psi^{\prime}\right)-(\varphi+\psi)\right)+x^{2} \rho^{-3}\left(\varphi^{\prime \prime}+\psi^{\prime \prime}\right)
\end{aligned}
$$
由对称性得
$$
\begin{aligned}
& u_{y y}=\rho^{-3}\left(1-3 y^{2} \rho^{-2}\right)\left(\rho\left(\varphi^{\prime}+\psi^{\prime}\right)-(\varphi+\psi)\right)+y^{2} \rho^{-3}\left(\varphi^{\prime \prime}+\psi^{\prime \prime}\right) . \\
& u_{z z}=\rho^{-3}\left(1-3 z^{2} \rho^{-2}\right)\left(\rho\left(\varphi^{\prime}+\psi^{\prime}\right)-(\varphi+\psi)\right)+z^{2} \rho^{-3}\left(\varphi^{\prime \prime}+\psi^{\prime \prime}\right) .
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
u_{x x}+u_{y y}+u_{z z} & =\rho^{-3} \cdot 3\left(1-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \rho^{-2}\right) \cdot\left(\rho\left(\varphi^{\prime}+\psi^{\prime}\right)-(\varphi+\psi)\right)+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \rho^{-3}\left(\varphi^{\prime \prime}+\psi^{\prime \prime}\right) \\
& =\rho^{-1}\left(\varphi^{\prime \prime}+\psi^{\prime \prime}\right)
\end{aligned}
$$
$$
u_{t t}-a^{2}\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right)=a^{2} \rho^{-1}\left(\varphi^{\prime \prime}+\psi^{\prime \prime}\right)-a^{2} \rho^{-1}\left(\varphi^{\prime \prime}+\psi^{\prime \prime}\right)=0 .
$$
即 $\displaystyle \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算一阶偏导数 ∂u/∂t
对 $u(x,t)=\frac{f(x+at)+f(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}F(\alpha)d\alpha$ 关于 $t$ 求偏导。利用链式法则和莱布尼茨公式：
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\left(f'(x+at)\cdot a+f'(x-at)\cdot(-a)\right)+\frac{1}{2a}\left(aF(x+at)+aF(x-at)\right)$$
$$=\frac{a}{2}\left(f'(x+at)-f'(x-at)\right)+\frac{1}{2}\left(F(x+at)+F(x-at)\right)$$
公式：莱布尼茨公式：$\frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)}F(\alpha)d\alpha = F(b(t))b'(t)-F(a(t))a'(t)$
提示：注意积分上下限对 t 的导数，以及 f 和 F 的导数记号。
步骤 2/8
目标：计算二阶偏导数 ∂²u/∂t²
对第一步结果再关于 t 求导：
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{a}{2}\left(af''(x+at)+af''(x-at)\right)+\frac{1}{2}\left(aF'(x+at)-aF'(x-at)\right)$$
$$=\frac{a^2}{2}\left(f''(x+at)+f''(x-at)\right)+\frac{a}{2}\left(F'(x+at)-F'(x-at)\right)$$
提示：注意 f' 和 F 的导数记号，以及链式法则中内层函数对 t 的导数。
步骤 3/8
目标：计算二阶偏导数 ∂²u/∂x²
先求 u 对 x 的一阶偏导：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2}\left(f'(x+at)+f'(x-at)\right)+\frac{1}{2a}\left(F(x+at)-F(x-at)\right)$$
再对 x 求导：
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{2}\left(f''(x+at)+f''(x-at)\right)+\frac{1}{2a}\left(F'(x+at)-F'(x-at)\right)$$
提示：注意积分上下限对 x 的导数：$\frac{\partial}{\partial x}\int_{x-at}^{x+at}F(\alpha)d\alpha = F(x+at)-F(x-at)$。
步骤 4/8
目标：计算 ∂²u/∂t² - a² ∂²u/∂x²
将第二步和第三步结果代入：
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\left[\frac{a^2}{2}(f''(x+at)+f''(x-at))+\frac{a}{2}(F'(x+at)-F'(x-at))\right]$$
$$-a^2\left[\frac{1}{2}(f''(x+at)+f''(x-at))+\frac{1}{2a}(F'(x+at)-F'(x-at))\right]$$
$$=0$$
提示：合并同类项时注意系数，$a^2$ 乘以 $\frac{1}{2a}$ 得 $\frac{a}{2}$，正好与第一项中的 $\frac{a}{2}$ 抵消。
步骤 5/8
目标：计算 u 对 t 的一阶和二阶偏导（第二问）
设 $\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，$u=\frac{1}{\rho}(\varphi(\rho-at)+\psi(\rho+at))$。对 t 求导：
$$u_t=\frac{1}{\rho}(-a\varphi'+a\psi')$$
$$u_{tt}=a^2\rho^{-1}(\varphi''+\psi'')$$
公式：链式法则：$\frac{\partial}{\partial t}\varphi(\rho-at)=\varphi'\cdot(-a)$
提示：注意 $\rho$ 与 t 无关，所以 $\rho$ 视为常数。
步骤 6/8
目标：计算 u 对 x 的一阶偏导
先求 $\rho$ 对 x 的偏导：$\rho_x = \frac{x}{\rho}$。
$$u_x = -\frac{1}{\rho^2}\rho_x(\varphi+\psi)+\frac{1}{\rho}(\varphi'\rho_x+\psi'\rho_x) = -\frac{x}{\rho^3}(\varphi+\psi)+\frac{x}{\rho^2}(\varphi'+\psi')$$
$$= x\rho^{-3}\left(\rho(\varphi'+\psi')-(\varphi+\psi)\right)$$
公式：乘积法则和链式法则
提示：注意 $\varphi$ 和 $\psi$ 的自变量是 $\rho-at$ 和 $\rho+at$，对 x 求导时 $\rho$ 是中间变量。
步骤 7/8
目标：计算 u 对 x 的二阶偏导
对 $u_x$ 再对 x 求导，注意 $\rho$ 对 x 的导数：
$$u_{xx} = \left(\rho^{-3}-3x\rho^{-4}\cdot\frac{x}{\rho}\right)\left(\rho(\varphi'+\psi')-(\varphi+\psi)\right) + x\rho^{-3}\left(\frac{x}{\rho}(\varphi'+\psi')+\rho(\varphi''\frac{x}{\rho}+\psi''\frac{x}{\rho})-\frac{x}{\rho}(\varphi'+\psi')\right)$$
$$= \rho^{-3}\left(1-3x^2\rho^{-2}\right)\left(\rho(\varphi'+\psi')-(\varphi+\psi)\right) + x^2\rho^{-3}(\varphi''+\psi'')$$
公式：乘积法则和链式法则
提示：注意 $\rho$ 对 x 的二阶导：$\rho_{xx} = \frac{1}{\rho}-\frac{x^2}{\rho^3}$，但这里通过直接求导得到。
步骤 8/8
目标：利用对称性求和并计算最终表达式
由对称性得 $u_{yy}$ 和 $u_{zz}$ 类似，将三个二阶偏导相加：
$$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} = \rho^{-3}\left(3-3(x^2+y^2+z^2)\rho^{-2}\right)\left(\rho(\varphi'+\psi')-(\varphi+\psi)\right) + (x^2+y^2+z^2)\rho^{-3}(\varphi''+\psi'')$$
由于 $x^2+y^2+z^2=\rho^2$，第一项为零，第二项为 $\rho^2\rho^{-3}(\varphi''+\psi'') = \rho^{-1}(\varphi''+\psi'')$。
因此 $u_{tt}-a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}) = a^2\rho^{-1}(\varphi''+\psi'') - a^2\rho^{-1}(\varphi''+\psi'') = 0$。
提示：注意 $\rho^2 = x^2+y^2+z^2$，化简时第一项系数 $3-3=0$。
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